¿Es $\det(I+AA^*)$ siempre no nulo?

Question

¿Es siempre cierto que $\det(I+AA^*)\neq 0$?

Aquí, $A^*$ es el adjunto de $A$.

He encontrado que $\det(I+BC)=\det(I+CB)$, pero parece que aquí no aplica.

Answer 1

Supongamos que $\det(I + A A^*) = 0$.

Eso significa que la matriz cuadrática $B = I + A A^*$ es singular. Por lo tanto, existe un vector no nulo $v$ tal que $B v = 0$, y por lo tanto $v^* B v = 0.

Pero $0 = v^* B v = v^* v + (A^* v)^* (A^* v) = \|v\|^2 + \|A^* v\|^2$ implica $v = 0$.

Esto es una contradicción.

Answer 2

Decir que $\det(AA^*+I)=0$ es lo mismo que decir que $-1$ es un eigenvalor de $AA^*$; sin embargo, si $AA^*=\lambda v$ para algún $v\ne0$, tenemos $$(A^*v)^*(A^*v)=v^*AA^*v=\lambda(v^*v)$$ y, para cualquier vector $x$, $x^*x\ge0$. Por lo tanto, $\lambda\ge0$.

Answer 3

Otra forma (boceto)

1. Si $P>0$ y $Q\ge 0$ entonces $P +Q>0$ (aquí $>0$ significa "estrictamente positivo definido" y $\ge 0$ significa "(semi) positivo definido".

2. $P>0 \implies |P| \ne 0$

3. $A A^* \ge 0$

4. Para cualquier $\epsilon>0$, $\epsilon I>0$. Por lo tanto, $\epsilon I + A A^* > 0$

5. Por lo tanto, $|\epsilon I + A A^*| \ne 0$