Construir un conjunto equidistribuido

Question

Quiero construir un subconjunto $A \subset [0,1]$ de medida $0<\epsilon <1$ , tal que para cualquier intervalo $J \subset [0,1]$ tenemos $m(A \cap J)=m(A)m(J)$ . Si alguien tiene alguna pista sería genial.

Answer 1

Por supuesto $A=[0,1]$ y $A=\emptyset$ son ejemplos triviales, o bien fueron hasta que añadiste la condición $0<m(A)<1$ . Con esa condición añadida no hay ejemplos. Esto se deduce, por ejemplo, del Teorema de la Diferenciación de Lebesgue aplicado a $\chi_A$ : Si $A$ está equidistribuido en el sentido que usted especifica, entonces LDT muestra que $\chi_A=m(A)$ en casi todas partes, por lo que $m(A)=0$ o $m(A)=1$ .

Answer 2

También podemos conseguirlo sin la LDT: Supongamos que existe un conjunto tal $A.$ Porque $m(A) < 1,$ existe $U$ abrir en $[0,1]$ tal que $A\subset U$ y $m(U) < 1.$ Ahora $U$ es la unión pareada de los intervalos $I_n, n=1,2,\dots$ Así que tenemos $A =A\cap U = \cup_n (A\cap I_n).$ Porque los conjuntos $A\cap I_n$ son disjuntos entre sí,

$$m(A) = \sum_n m(A\cap I_n) = \sum_n m(A)m(I_n) = m(A)[\sum_n m(I_n)] = m(A)m(U).$$

Desde $m(A)>0,$ lo anterior implica $1 = m(U),$ contradicción.