Supongamos que$a,b,c,d$ son enteros positivos y$abcd=2^8\cdot 3^8$.
Consideramos que las permutaciones de una solución$(a,b,c,d)$ son idénticas.
Por ejemplo, las soluciones$(1,1,1,2^8\cdot 3^8),(1,1,2^8\cdot 3^8,1), (1,2^8\cdot 3^8,1,1), (2^8\cdot 3^8,1,1,1)$ se consideran equivalentes.
¿Cuántas soluciones$(a,b,c,d)$ hay?
El teorema fundamental de la aritmética nos dice que cada una de las $a,b,c,d$ es de la forma $2^n \cdot 3^m$. En consecuencia, $$abcd = 2^{n_a + n_b + n_c + n_d} \cdot 3^{m_a + m_b + m_c + m_d} = 2^8 \cdot 3^8.$$ El problema se reduce a encontrar enteros no negativos $n_i$ $m_i$ tales que la suma de los $n_i = 8$, y la suma de los $m_i = 8$.
Para eliminar las permutaciones de $a,b,c,d$, digamos, sin pérdida de generalidad que $n_a \geq n_b \geq n_c \geq n_d$ y que en el caso de $n_i = n_{i+1}$, se requiere que $m_i \geq m_{i+1}$. es decir, nos unimos a los dígitos $n$ $m$ y el orden de los números de $n_i m_i$ desde la más alta a la más baja, más alta asignada a $a$ y el más bajo asignado a $d$. Con estas limitaciones, sólo necesitamos contar el número de opciones para $n_i,m_i$.
En primer lugar, echar un vistazo a esta respuesta para una comprensión de cómo dividimos un entero $n$ a $k$ enteros no negativos hasta permutación de las partes. (Aunque creo que las relaciones de recurrencia que aquí se han escrito incorrectamente! He utilizado otra fuente para mi fórmula.) Estos son los llamados particiones. Voy a denotar esta $p_0(k,n)$ para distinguirla de la noción habitual de una partición que consta de sólo números enteros positivos.
Tenga en cuenta que una composición de un número entero es el mismo como una partición, salvo que las permutaciones no son considerados equivalentes.
En un caso por caso, voy a ir a través de las posibilidades de $(n_a,n_b,n_c,n_d)$ y la razón sobre la correspondiente opciones para $m_i$. Hay, esencialmente, sólo cinco de los casos.
$$\begin{aligned} && \text{Choices for }n_i && \text{#Choices for }m_i\\ n_a < 2 : && \textrm{no solution} && \textrm{no solution}\\ n_a = 2 : && (2,2,2,2) && p_0(4,8) && \text{The problem reduces to partitioning } 8\\ n_a = 3 : && (3,3,2,0) && \sum_{j=0}^8 p_0(2,j) \cdot (1+8-j) && \text{Choose } j=(m_a+m_b)\text{, and then }(m_c,m_d)\\ &&(3,3,1,1) && \sum_{j=0}^8 p_0(2,j) \cdot p_0(2,8-j) && \text{Choose } j= (m_a+m_b)\\ &&(3,2,2,1) && \sum_{j=0}^8 p_0(2,j) \cdot (1+8-j)\\ n_a = 4 : && (4,4,0,0) && \sum_{j=0}^8 p_0(2,j) \cdot p_0(2,8-j)\\ &&(4,3,1,0) && \frac{(8+4-1)!}{(4-1)!8!} && \text{Choose any composition of }8\\ &&(4,2,2,0) && \sum_{j=0}^8 p_0(2,j) \cdot (1+8-j)\\ &&(4,2,1,1) && \sum_{j=0}^8 p_0(2,j) \cdot (1+8-j)\\ n_a = 5 : && (5,3,0,0) && \sum_{j=0}^8 p_0(2,j) \cdot (1+8-j)\\ &&(5,2,1,0) && \frac{(8+4-1)!}{(4-1)!8!}\\ &&(5,1,1,1) && \sum_{j=0}^8 p_0(3,j) && \text{Choose } j=(m_b+m_c+m_d)\\ n_a = 6 : && (6,2,0,0) && \sum_{j=0}^8 p_0(2,j) \cdot (1+8-j)\\ &&(6,1,1,0) && \sum_{j=0}^8 p_0(2,j) \cdot (1+8-j)\\ n_a = 7 : && (7,1,0,0) && \sum_{j=0}^8 p_0(2,j) \cdot (1+8-j)\\ n_a = 8 : && (8,0,0,0) && \sum_{j=0}^8 p_0(3,j) \end{aligned}$$
Añadir estos juntos, no se $1297$ opciones para $a,b,c,d$ hasta permutación.
Permítanme explicar que cada uno de estos términos viene.
$$(2,2,2,2): \quad p_0(4,8)$$
En este caso, el $n_i$ son iguales y por tanto, por las reglas que se establecen en la parte superior, se debe ordenar la $m_i$ fro más alta a la más baja. En consecuencia, estamos buscando el número de desordenada sumas de cuatro enteros $m_i$ hacer $8$. Esto es igual a $p_0(4,8)$.
$$(3,3,2,0): \quad \sum_{j=0}^8 p_0(2,j) \cdot (1+8-j)$$
En primer lugar, podemos elegir la cantidad $(m_a+m_b)$. Desde $n_a = n_b$, tenemos nada que decir en cómo estos dos primeros a $m_i$ están ordenados. Debemos ordenar de mayor a menor. Así que tenemos $p_0(j,2)$ opciones dado que queremos que se suma a $j$. Después de haber elegido uno de estos, podemos optar $m_c$ $m_d$ sin embargo nosotros por favor, de modo que se suma a $8-j$. Hay $1+8-j$ maneras de hacer esto.
$$(4,4,0,0): \quad \sum_{j=0}^8 p_0(2,j) \cdot p_0(2,8-j)$$
En este caso, tenemos dos pares de $n_i$ que son iguales. Esto significa que no tenemos que decir con respecto a cómo los correspondientes pares de $m_i$ son ordenadas, a pesar de que todavía podemos elegir la desordenada sumas. En primer lugar, elegir lo $m_a+m_b$ se suma a coger un $j$. A continuación, recogemos los que no están ordenados suma queremos rendir $m_a+m_b = j$, dándonos $p_0(2,j)$ opciones. Después de eso, todavía tenemos $8-j$ a la izquierda para distribuir a $m_c+m_d$, de nuevo sin decir más de su ordenación. Así que tenemos $p_0(2,8-j)$ opciones para un determinado $j$.
$$(4,3,1,0): \quad \frac{(8+4-1)!}{(4-1)!8!}$$
Aquí, cada una de las $n_i$ es distinta y así no hay ningún orden impuesto en la $m_i$. Podemos elegir cualquier combinación, en cualquier orden, lo que produce una suma de $8$.
$$(5,1,1,1): \quad \sum_{j=0}^8 p_0(3,j)$$
Porque tres de las $n_i$ son idénticos, no podemos decir en el orden de sus respectivas $m_i$; sólo la suma de $m_b+m_c+m_d$. Para una determinada suma de $j$, $p_0(3,j)$ de tales elecciones. Una selección de $j$ obviamente corrige $m_a$.
Me interesaría ver si hay una fórmula general para la partición de tuplas, ya que este problema es equivalente a particionar $(8,8)$ en una desordenada suma de $2$-tuplas.
Hasta pedido, hay $15$ distintas formas de partición de la $8$ en la suma de $4$ dígitos utilizando sólo los números de $\{0,\ldots,8\}$. El uso de un simple $4$-dígito de la secuencia para denotar estas particiones tenemos: $$ \begin{array}{ccccc} 0008 & 0017 & 0026 & 0035 & 0044\\ 0116 & 0125 & 0134 & 0224 & 0233\\ 1115 & 1124 & 1133 & 1223 & 2222 \end{array} $$ Así que si he de elegir una partición de los poderes de la $2$ y una partición de los poderes de la $3$, nos gustaría saber de cuántas maneras diferentes se pueden combinar en nuestro producto deseado. Vamos a ilustrar esto con las opciones de $0116$ $2$'s y $0026$ $3$'s. Para contar esto, se corrige el orden de las $2$'s y permutar el orden de $3$'s en cada una de las posibles $12$ formas distintas: $$ \begin{align*} 0116 \cdot 0026&=(00)(10)(12)(66)=2^03^0\cdot2^13^0\cdot2^13^2\cdot2^63^6\\ 0116 \cdot 0206 &= (00)(12)(10)(66) ~~(duplicate)\\ 0116 \cdot 2006 &= (02)(10)(10)(66) \\ 0116 \cdot 0062 &= (00)(10)(16)(62) \\ 0116 \cdot 0260 &= (00)(12)(16)(60) \\ 0116 \cdot 2060 &= (02)(10)(16)(60) \\ 0116 \cdot 0602 &= (00)(16)(10)(62) ~~(duplicate)\\ 0116 \cdot 0620 &= (00)(16)(12)(60) ~~(duplicate)\\ 0116 \cdot 2600 &= (02)(16)(10)(60) ~~(duplicate)\\ 0116 \cdot 6002 &= (06)(10)(10)(62) \\ 0116 \cdot 6020 &= (06)(10)(12)(60) \\ 0116 \cdot 6200 &= (06)(12)(10)(60) ~~(duplicate) \end{align*} $$ and we see that there are $7$ distinct permutations of the powers of $3$ that yield distinct products equal to $2^8\cdot 3^8$.
El cálculo de este para cada una de las $225$ combinaciones posibles de los poderes de $2$$3$, este método de fuerza bruta da $1297$ productos distintos. Este enfoque no es tan desalentador como parece al principio. Combinatoria hablando, sólo hay $5$ distintos tipos de productos basados en los diferentes patrones fijos de los poderes de la $2$: $$ xxxx\cdot\text{ todas las permutaciones (1 de ellos) que produce el 15 productos de cada una de las}\\ xxxy\cdot\text{ todas las permutaciones (2 de ellos) que produce 41 productos de cada una de las}\\ xxyy\cdot\text{ todas las permutaciones (2 de ellos) que produce el 55 productos de cada una de las}\\ xyyz\cdot\text{ todas las permutaciones (8 de ellos) que produce el 95 de los productos de cada una de las}\\ wxyz\cdot\text{ todas las permutaciones (2 de ellos) que produce 165 productos de cada una de ellas.} $$ Así tenemos $$ 1\cdot 15+2\cdot 41+2\cdot 55+8\cdot 95+2\cdot 165=1297 $$ se trata de productos distintos.
Si $a_i=2^{x_i}\cdot 3^{y_i}$ $x_i$ $y_i$ forma una partición de $8$ en cuatro partes $\geq0$. Hay $15$ particiones. Podemos clasificar estas $15$ particiones en cinco tipos de acuerdo con las multiplicidades de la incidencia de los tamaños de la siguiente manera: $$\eqalign{1{\rm\ de\ tipo\ 1}:\quad &2222\cr 2{\rm\ de\ tipo\ 2}:\quad &8000, 5111\cr 2{\rm\ de\ tipo\ 3}:\quad &4400, 3311\cr 8{\rm\ de\ tipo\ 4}:\quad &7100, 6200, 5300, 6011, 4211, 4022, 3122, 2033\cr 2{\rm\ de\ tipo\ 5}:\quad &5210, 4310\cr}\etiqueta{1}$$ Ahora tenemos que determinar para cada opción de dos tipos de $j$ $k$ el número de $q_{jk}$ de diferentes cuádruples $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ que puede estar formado por una partición de tipo $j$ utilizado con base $2$ y una partición de tipo $k$ utilizado con base $3$. Esto tiene que ser hecho "a mano". La matriz simétrica $Q=\bigl[q_{jk}\bigr]$ se define de esta manera se ve como sigue: $$Q=\left[\matriz{ 1&1&1&1&1 \cr 1&2&2&3&4 \cr 1&2&3&4&6 \cr 1&3&4&7&12 \cr 1&4&6&12&24 \cr}\right]\ .$$ Deje $s=[1\ 2\ 2\ 8\ 2]$ ser el vector listado de las cardinalidades de los cinco tipos en $(1)$. A continuación, el número total $N$ de cuádruples de que el tipo está dada por $$N=s\>Q\>s'=1297\ .$$
Número de no-idéntico soluciones es $1297$. Vamos a resolver esto!
$abcd = 2^{n_a + n_b + n_c + n_d} \cdot 3^{m_a + m_b + m_c + m_d} = 2^8 \cdot 3^8$. Necesitamos el número de soluciones en la forma $a\ge b \ge c \ge d$. En este caso no es idéntica solución. Por la distribución principio, el número de soluciones del sistema $n_a + n_b + n_c + n_d=8$, $m_a + m_b + m_c + m_d=8$ es $\dbinom{11}{3}^2=27225$. Pero esto es tan grande para nosotros. Porque tiene algunos idénticas soluciones.
1. Caso: Soluciones en la forma$(a,a,a,b)$$a \ne b$. \begin{array}{lcr} 3n_a + n_b & = & 8 \\ 3m_a +m_b & = & 8 \end{array} Soluciones de $(n_a,n_b)=(0,8),(1,5),(2,2)$$(m_a,m_b)=(0,8),(1,5),(2,2)$. Hay $3\cdot 3 =9$ soluciones. Pero para $(n_a,n_b)=(m_a,m_b)=(2,2)$, nos encontramos con $a=b$. Así, el número de las soluciones de $9-1=\boxed 8$.
Recuerde 1: en Este caso se incluye a $a=b=c>d$ $a>b=c=d$ no idénticos sub casos.
2. Caso: Soluciones en la forma$(a,a,b,b)$$a \ne b$. \begin{array}{lcr} 2n_a + 2_b & = & 8 \\ 2m_a +2_b & = & 8 \end{array}
Soluciones de $(n_a,n_b)=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)$$(m_a,m_b)=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)$. Hay $5\cdot 5 =25$ soluciones. Pero para $(n_a,n_b)=(m_a,m_b)=(2,2)$, nos encontramos con $a=b$. Así, el número de las soluciones de $25-1=24$.
Recuerde 2: en Este caso se incluye a $a=b>c=d$ $a=b<c=d$ idéntica sub casos. Así que no identicals se $\dfrac{24}{2}=\boxed{12}$.
3. Caso: Soluciones en la forma$(a,a,b,c)$$a \ne b \ne c \ne a$.
\begin{array}{lcr} 2n_a + n_b +n_c & = & 8 \\ 2m_a +m_b +m_c & = & 8 \end{array}
Soluciones de $(n_a,n_b,n_c)=(0,8,0),\dots ,(4,0,0)$$(m_a,m_b,m_c)=(0,8,0),\dots ,(4,0,0)$ . Hay $25\cdot 25 =625$ soluciones. Pero;
para $(n_a,n_b),(m_a,m_b)\in \{(0,0),(1,1),(2,2)\}$, nos encontramos con $a=b$. Hay $3\cdot3=9$ soluciones. Para $(n_a,n_c),(m_a,m_c)\in \{(0,0),(1,1),(2,2)\}$, nos encontramos con $a=c$. Hay $3\cdot3=9$ soluciones. Para $(n_b,n_c),(m_b,m_c)\in \{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}$, nos encontramos con $b=c$. Hay $5\cdot5=25$ soluciones. También se $(n_a=n_b,n_c)=(m_a=m_b,m_c)=(2,2,2)$ recuento $3$veces. Por lo tanto, $625-9-9-25+2=584$
Recuerde 3: en Este caso se incluye a $a=b>c>d$ $a=b>d>c$ idéntica sub casos. Así que no identicals se $\dfrac{584}{2}=\boxed{292}$.
El Último Caso: Soluciones en la forma $(a,a,a,a)$. Claramente, no es sólo $1$ solución.
Ahora podemos encontrar el número de soluciones en la forma $abcd$ que todos ellos diferentes el uno del otro. La cantidad de estas $\dfrac{27225-\binom{4}1\cdot 8 -\binom{4}2\cdot 12 -\frac{4!}{2!}\cdot 292 -1 }{4!}= 984$.
Cantidad Total no idénticas soluciones de $984 + 8 +12 + 292 +1=1297$.
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