Hay un resultado conocido en la búsqueda de la función $f$ satisface
$$\limsup_{n\to\infty}\frac{\tau(n)}{f(n)}=1?$$ donde $\tau(n)$ es el número de factor(es) de $n$.
Relacionado:Demostrar que $d(n)\leq 2\sqrt{n}$
Esto muestra que $f(n)=O(\sqrt n)$.
Algunas Ideas
También, dejando $n=2^m,m\in\mathbb Z$ da $f(n)=\Omega(m)$ o $f(n)=\Omega(\ln n)$.
Factorizar $n$ a $\prod_ip_i^{\alpha_i}$ da $\tau(n)=\prod_i(\alpha_i+1)$. Así que, probablemente, el siguiente paso a hacer es calcular la $p_i$.
Wikipedia da $p_n\le n\ln n+n\ln\ln n$ al $n\ge 6$. Podemos usar este resultado para dar el mejor de los límites para la $f$?