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Encontrar$f$ satisface$\limsup_{n\to\infty}\frac{\tau(n)}{f(n)}=1$

Hay un resultado conocido en la búsqueda de la función $f$ satisface

$$\limsup_{n\to\infty}\frac{\tau(n)}{f(n)}=1?$$ donde $\tau(n)$ es el número de factor(es) de $n$.

Relacionado:Demostrar que $d(n)\leq 2\sqrt{n}$
Esto muestra que $f(n)=O(\sqrt n)$.
Algunas Ideas
También, dejando $n=2^m,m\in\mathbb Z$ da $f(n)=\Omega(m)$ o $f(n)=\Omega(\ln n)$.
Factorizar $n$ a $\prod_ip_i^{\alpha_i}$ da $\tau(n)=\prod_i(\alpha_i+1)$. Así que, probablemente, el siguiente paso a hacer es calcular la $p_i$.
Wikipedia da $p_n\le n\ln n+n\ln\ln n$ al $n\ge 6$. Podemos usar este resultado para dar el mejor de los límites para la $f$?

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eloiPrime Puntos 1112

El mejor resultado en esta dirección se debe a S. Wigert (1907):$$\limsup_{n\to\infty}\frac{\log\tau (n) \log\log(n)}{\log(2)\log(n)}=1.$ $ Se trata de un corolario de ciertas estimaciones de$\max_{n\le x} \tau(n)$, la más fuerte de las cuales se debe a S. Ramanujan (1915) .

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