Convertir$\mathbb R^n$ en campo

Question

Estoy leyendo Apostol fascinante texto de Análisis Matemático. En una nota de pie de página en P117, él escribe:

Si fuera posible definir la multiplicación en $\mathbb R^3$ a fin de hacer la $\mathbb R^3$ un campo incluyendo $\mathbb C,$ podríamos argumentar de la siguiente manera: para cada $\bf x$ en $\mathbb R^3$, los vectores $1,\bf x,\bf x^2,\bf x^3$ sería linealmente dependiente. Por lo tanto para cada una de las $\bf x$ en $\mathbb R^3,$ una relación de la forma $a_0+a_1{\bf x}+a_2{\bf x^2}+a_3{\bf x^3}=0$ se mantenga, donde $a_0,a_1,a_2,a_3$ son números reales.Pero cada polinomio de grado tres con coeficientes reales es un producto de un polinomio lineal y una cuadrática, polinómica con coeficientes reales. La única raíces de tales polinomios puede tener son números reales o números complejos.

Tengo este par de preguntas:

1. ¿El argumento de arriba muestran que $\mathbb R^3$ no se puede hacer a un campo? O simplemente que $\mathbb R^3$ no puede ser tal que $\mathbb C$ es su subcampo?

2. ¿Cómo estamos tan seguros de que no hay otras raíces de números complejos? Tal vez no hemos explorado lo suficiente!

Answer 1

Podemos mostrar que $\Bbb R^3$ no se puede asignar a una operación de multiplicación que la convierte en una extensión del campo de $\Bbb R$ sin suponiendo que un campo contiene un subcuerpo isomorfo a $\Bbb C$ como sigue:

Si $\Bbb R^3$ fueron un campo así, tendríamos

$[\Bbb R^3:\Bbb R] = 3; \tag 1$

siendo una extensión del campo de $\Bbb R$, $\Bbb R^3$ contiene una identidad multiplicativa $1$ y un subcampo $1\Bbb R = \Bbb R1$ isomorfo a $\Bbb R$ en la forma usual, que es

$\Bbb R \ni r \leftrightarrow r1 \in 1\Bbb R \subsetneq \Bbb R^3; \tag 2$

en virtud de (1), existe

$\mathbf v \in \Bbb R^3 \setminus \Bbb R1 \tag 3$

tal que $1, \mathbf v, \mathbf v^2, \mathbf v^3$ son linealmente dependientes sobre $\Bbb R1 \cong \Bbb R$; que es

$\exists c_i \in \Bbb R, \; 0 \le i \le 3, \tag 4$

no todos los $c_i$ cero, con

$c_3 \mathbf v^3 +c_2 \mathbf v^2 + c_1 \mathbf v + c_0 = 0; \tag 4$

consideremos primero el caso

$c_3 = 0; \tag 5$

entonces

$c_2 \mathbf v^2 + c_1 \mathbf v + c_0 = 0; \tag 6$

ahora si

$c_2 = 0, \tag 7$

entonces si

$c_1 = 0 \tag 8$

así, nos encontramos con

$c_0 = 0, \tag 9$

contradiciendo la hipótesis de que no todos los $c_i = 0$; y si

$c_1 \ne 0 \tag{10}$

podemos escribir

$\mathbf v = -\dfrac{c_0}{c_1} \in \Bbb R 1 \cong \Bbb R, \tag{11}$

lo que contradice (3); por lo tanto tenemos que

$c_2 \ne 0, \tag{12}$

y podemos escribir (6) como

$\mathbf v^2 + b_1 \mathbf v + b_0 = 0, \tag{13}$

donde

$b_i = \dfrac{c_i}{c_2} \in \Bbb R; \tag{14}$

podemos escribir (13) como

$\mathbf v^2 + b_1 \mathbf v = -b_0, \tag{15}$

y completar el cuadrado:

$\left (\mathbf v + \dfrac{b_1}{2} \right )^2 = \mathbf v^2 + b_1 \mathbf v + \dfrac{b_1^2}{4} = \dfrac{b_1^2}{4} - b_0 = d; \tag{16}$

si

$d \ge 0, \tag{17}$

(16) los rendimientos

$\mathbf v = -\dfrac{b_1}{2} \pm \sqrt d \in \Bbb R, \tag{18}$

en contradicción a (3); por lo tanto,

$d < 0, \tag{19}$

y (16) se convierte en

$\dfrac{1}{{\sqrt{-d}}^2} \left (\mathbf v + \dfrac{b_1}{2} \right )^2 = -1, \tag{20}$

lo que muestra la existencia de un elemento

$\mathbf i \in \Bbb R^3 \tag{21}$

con

$\mathbf i^2 = -1, \tag {22}$

y en la manera usual, vemos que la subalgebra

$\Bbb R + \Bbb R \mathbf i = \{ s + t \mathbf i \mid s, t \in \Bbb R \} \cong \Bbb C \tag{23}$

es un subcampo de la $\Bbb R^3$ con

$[\Bbb C: \Bbb R] = 2; \tag{24}$

pero esto es imposible, puesto que implica

$3 = [\Bbb R^3:\Bbb R] =[\Bbb R^3:\Bbb C] [\Bbb C: \Bbb R] = 2[\Bbb R^3:\Bbb C]; \tag{25}$

pero $2 \not \mid 3$; concluimos entonces que no $\mathbf v$ satisfactorio (6), (13) puede existir en $\Bbb R^3$.

Ahora si

$c_3 \ne 0, \tag{26}$

a continuación, $\mathbf v$ satisface la totalidad cúbicos (4), y como por encima de la configuración de

$b_i = \dfrac{c_i}{c_3}, \; 0 \le i \le 2, \tag{27}$

obtenemos el real monic cúbicos

$p(\mathbf v) = \mathbf v^3 +b_2 \mathbf v^2 + b_1 \mathbf v + b_0 = 0, \tag{28}$

que como es bien sabido siempre tiene una raíz

$r \in \Bbb R, \tag{29}$

de dónde

$p(\mathbf v) = (\mathbf v - r)q(\mathbf v) \tag{30}$

para algunos monic real, cuadrática, polinómica $q(\mathbf v)$; por lo tanto,

$(\mathbf v - r)q(\mathbf v) =p(\mathbf v) = 0; \tag{31}$

pero

$\mathbf v - r \ne 0 \tag{32}$

desde

$\mathbf v \notin \Bbb R; \tag{33}$

de ello se sigue que

$q(\mathbf v) = 0, \tag{34}$

y hemos reducido el cúbicos a la anterior (cuadrática), que hemos reducido al absurdo; por lo tanto la conclusión de que $\Bbb R^3$ admite ninguna operación de multiplicación compatible con el campo axiomas, y hemos terminado.

Cerramos con la observación de que nuestro argumento no requiere la suposición de que $\Bbb R^3$ contiene un subcuerpo isomorfo a $\Bbb C$; de hecho, hemos demostrado que la existencia de un subregistro de la siguiente manera a partir de la afirmación de que $\Bbb R^3$ es una extensión del campo de $\Bbb R$, a partir de la cual una contradicción se deduce.

Por último, como para nuestros OP Silenciosa dos preguntas finales, Apostol de la prueba, de hecho, hace uso de la suposición de que $\Bbb R^3$ tiene un subcuerpo isomorfo a $\Bbb C$ a mostrar que $\Bbb R^3$ no puede ser hecho en un campo; y el problema de que hay "otros" raíces del polinomio en $\mathbf x$ de la habitual de los números complejos se cae una vez que hemos $\Bbb C \subset \Bbb R^3$, para entonces el familiar factorizations en $\Bbb C[x]$ espera, y desde un polinomio de grado $n$ sobre cualquier campo tiene en la mayoría de las $n$ ceros, vemos que todas las raíces de un polinomio real en $\mathbf x$ debe estar en $\Bbb C$; basta con que nos fijemos.

Answer 2

1. Sólo un campo que contenga $\Bbb C$. El que tiene problemas por su propia cuenta, como $\Bbb R^3$ sería un campo de extensión de grado 3, y por lo tanto no puede haber un intermedio de extensión de grado $2$, como $\Bbb C$. Así que hay muchas razones por las que esto no iba a funcionar.
2. No es una cuestión de no haber explorado lo suficiente. Podemos encontrar tres raíces complejas de la ecuación, con relativa facilidad (al menos con el acceso a las herramientas más modernas, como la de álgebra computacional de sistemas, o la wikipedia). Ahora hay dos posibilidades: o Bien nuestro $\Bbb R^3$ campo no nos da ningún número $\Bbb C$ no tiene (lo cual es imposible: $\Bbb C\cong\Bbb R^2$ es un estricto sub-vectorspace), o con algún grado-3 (o inferior) de los polinomios de tener más de tres raíces, que rompe todo tipo de cosas y no es por lo tanto posible.