Rellenando un hueco en la prueba de desigualdad de triángulos para$d(x,y)= \left\lvert \frac{|x-y|}{1+|x-y|} \right\lvert $.

Question

Para la función $d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida como $$d(x,y)= \left\lvert \frac{|x-y|}{1+|x-y|} \right\lvert. $$ I want to prove this is a metric but Im having issues proving the triangle inequality. I know this problem has been discused before and the one idea im trying to prove this is using the fact that $ f (x) = \ frac {x} {1 + x}$ is increasing and also satisfies the subadditivity property. This is $ f (a + b) \ leq f ( a) + f (b)$ for every $ a, b \ geq 0 $ . Estoy atascado demostrando la subadditividad, alguien menciona que esto se puede hacer con un teorema de valor intermedio, pero no veo cómo. Gracias por leer y ayudar.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(x)=\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}$ . Para $a,b\geq 0 $ , $$f(a+b)=1-\frac{1}{1+a+b}.$$ Observe that $ 1- \ frac {1} {1 + a + b} \ leq 1- \ frac {1} {1 + a}$(why?). Since $ 1- \ frac {1} {1 + b} \ geq 0 $ , la desigualdad sigue directamente.

Answer 2

Tenga en cuenta también que $f(x) \ge 0$ para $x \ge 0$ . $$d(x,z) = f(|x-z|) \le f(|x-y|+|y-z|) \le f(|x-y|) + f(|y-z|) = d(x,y) + d(y,z).$ $ La primera desigualdad se debe a que $f$ aumenta, y la segunda desigualdad es la propiedad de la subaditividad.