Quiero encontrar una familia de funciones uniformemente continuas $\{f_{n}\}$ de tal manera que $\{f_{n}\}$ es puntualmente ecuánime pero no es uniformemente ecuánime.
Tengo problemas para encontrar un ejemplo explícito. Vi esta respuesta: https://math.stackexchange.com/a/2594576/444015 pero no entiendo por qué la condición (ii) implica $F$ no es uniformemente ecuánime.
¿Alguien puede ayudarme?
Prueba con $$ f_n(x) = \cases{x^2 & if $ |x| |le n $\cr n^2 & otherwise\cr} $$
Cada $f_n$ es uniformemente continua: $|x - y| < \epsilon/(2 n)$ implica $|f_n(x) - f_n(y)| < \epsilon$ .
La secuencia es equicontinua en cada $x$ : $|x - y| < \min(1, \epsilon/(2+2|x|))$ implica $|f_n(x)-f_n(y)| < \epsilon$ .
La secuencia no es uniformemente equicontinua: toma $\epsilon = 1$ y observe que $f_n(n) - f_n(n - 1/n) = 2 - 1/n^2 \ge \epsilon$ .
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