Sé que la aplicación, pero quiero una prueba de la siguiente propiedad de integración definida.

Question

Pregunta: demostrar

(a) Si $f(x)=f(-x)$ e $f(x+\pi)=-f(x)$ a continuación,

$$\int_{0_{+}}^{\infty} f(x)\dfrac{\sin x}{x}dx=\int_{0_{+}}^{\dfrac{\pi}{2}}f(x) \cos x\ dx$$

A continuación, utilice esta identidad en probar el resultado de (b):

$$\int_{0_{+}}^{\infty}\dfrac{\tan x}{x}dx=\dfrac{\pi}{2}$$

Mi intento: me fáciles de resolver la parte (b) de la siguiente manera

$$\int_{0_{+}}^{\infty}\dfrac{\tan x}{x}dx=\int_{0_{+}}^{\infty}\sec x\ \dfrac{\sin x}{x}dx$$

Ahora usando la identidad (a) por $\sec(-x)=\ \sec x$ e $\sec(x+\pi)=-\sec x$ obtenemos: $$\int_{0_{+}}^{\infty}\sec x\ \dfrac{\sin x}{x}dx=\int_{0_{+}}^{\pi/2}\sec x\cos x\ dx=\dfrac{\pi}{2}$$

Pero no sé cómo acreditar la identidad (a) y cómo se puede utilizar la identidad de evaluar algunos famosos de integrales definidas.

Answer 1

Las condiciones impuestas en $f$ implican que su serie de Fourier es una combinación lineal del $\cos nx$ con $n$ impar, por lo que por la linealidad solo necesitamos verificar ese caso. Nota para $n\ne 1$ que $$\int_0^\infty\frac{\sin x\cos nx}{x}dx=\int_0^\infty\frac{\sin (n+1)x-\sin (n-1)x}{2x}dx=0$$ and $$\int_0^{\pi/2}\cos x\cos nxdx=\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} (\cos(n+1)x+\cos(n-1)x)dx=0.$$By contrast, in the $ n = 1$ case the first integral reduces to $ \ int_0 ^ \ infty \ frac {\ sin 2x dx} { 2x} = \ frac {\ pi} {4}$ and the second to $ \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ cos ^ 2 xdx = \ frac {\ pi} {4} $ .

Answer 2

SUGERENCIAS en lugar de una solución completa

Aparece a partir de la pregunta que los pequeños asuntos como si la integral converge en todos los dominios de definición, etc., no son de tu incumbencia. Así que el empleo de todas las formas posibles de lo que un amigo solía llamar "ingeniero de la facultad" (es decir, el intercambio de las integrales, teniendo sumas de dinero dentro y fuera de las integrales, la reorganización de la serie, etc.), he aquí una o dos sugerencias:

Tenemos $$ f(x)=f(-x)\\ f(x+\pi)=-f(x) $$ por lo que el valor de $f$ está completamente determinada por sus valores en el intervalo de $[0, \pi/2]$. Así que vamos a tomar las grandes integral y romper en pedazos:

\begin{align} \int_{0_{+}}^{\infty} f(x)\dfrac{\sin x}{x}~dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\dfrac{\sin x}{x}~dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi f(x)\dfrac{\sin x}{x}~dx + \int_\pi^{\frac{3\pi}{2}} f(x)\dfrac{\sin x}{x}~dx + \ldots\\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\dfrac{\sin x}{x}~dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 f(x)\dfrac{\sin x}{(x+\pi)}~dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\dfrac{\sin x}{(x+\pi)}~dx + \ldots\\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\dfrac{\sin x}{x}~dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^0 f(x)\dfrac{\sin (-x)}{(-x+\pi)}~dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\dfrac{\sin x}{(x+\pi)}~dx + \ldots\\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\dfrac{\sin x}{x}~dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\dfrac{\sin (-x)}{(-x+\pi)}~dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\dfrac{\sin x}{(x+\pi)}~dx + \ldots\\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\dfrac{\sin x}{x}~dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\dfrac{\sin x}{(-x+\pi)}~dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\dfrac{\sin x}{(x+\pi)}~dx + \ldots\\ \end{align} por subsituting $x = u - \pi$ en el 2º y tercer integrales de la primera línea y, a continuación, $u = -x$ en el segundo integrante de la segunda línea y, a continuación, el intercambio de los límites de la integral, y la sustitución de $\sin -x$ con $-\sin x$. Si sigues en esto, usted puede terminar para arriba con algo en donde todos los términos de la integración $0$ a $\pi/2$.

Así que, a continuación, se combinan todos ellos bajo una gran integral (!), y el factor de la $f(x) \sin x$ parte para conseguir algo que se parece a $$ \int_0^\frac{\pi}{2} f(x) \sin x \sum \frac{1}{\pm x \pm k\pi} ~ dx $$ donde ahora tendrá que jugar para conseguir los signos y los valores de $k$ a la derecha y, a continuación, observe que las cosas en la suma resulta ser $\cot x$. De hecho, tal vez es obvio a partir de algunos de potencia de la serie que no voy a saber la parte superior de mi cabeza.

De todos modos, que va a empezar. Cuando usted ha hecho todo el álgebra, usted puede ir de nuevo y la preocupación acerca de la convergencia y de si las cosas que he escrito está bien definido o no.