Demostrar que .

Question

Actualmente estoy resolviendo un ejercicio bastante largo relacionado con la teoría de Galois en el que me he encontrado con que tengo que demostrar que $\sqrt{3+\sqrt{7}} \not\in \mathbb{Q}(\sqrt{3-\sqrt{7}})$ y $\sqrt{3-\sqrt{7}} \not\in \mathbb{Q}(\sqrt{3+\sqrt{7}})$ . Hasta ahora no he podido encontrar una manera "fácil" o simple y comprensible de hacerlo, dado que esta no es la parte principal del problema.

Cualquier ayuda es apreciada!

Answer 1

Deje $x_{\pm}=\sqrt{3 \pm \sqrt{7}}$.

Es fácil ver que tenemos la cuadráticas siguientes extensiones:

$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{7}) \subset \mathbb{Q}(x_+)$,

$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{7}) \subset \mathbb{Q}(x_-)$.

Suponga que $x_+ \in K=\mathbb{Q}(x_-)$. A continuación, $\sqrt{2} = x_+x_- \in K$, lo $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{7}) \subset K$.

Desde estos campos tienen el mismo grado por encima del $\mathbb{Q}$, $K \subset L$, es decir, $x_+=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{7}+d\sqrt{14}$ para los racionales $a,b,c,d$.

Tomando cuadrados, obtenemos $3+\sqrt{7}=(a^2+2b^2+7c^2+14d^2) + (2ab+14cd)\sqrt{2} + (2da+2bc)\sqrt{14} + (2ca+4bd)\sqrt{7}$.

Por lo tanto $ab=-7cd$, $ad=-bc$, $2ca+4bd=1$, $a^2+2b^2+7c^2+14d^2=3$.

Suponga $a=0$: a continuación, $d \neq 0$ lo $c=0$ e $bd=1/4$, $2b^2+14d^2=3$. Habitual cuadrática de la teoría de los rendimientos, a continuación, una contradicción.

Por lo tanto $b=-7cd/a$, e $ad=7c^2d/a$ lo $a^2=7c^2$ por lo tanto $a=0$. Una contradicción, por lo tanto el resultado.

Answer 2

En general, en este tipo de problema, es mejor no mezclar las dos operaciones + y $\times$. Permítanme darles una ilustración aquí, sólo el uso de $\times$. Introducir el cuadrática campo $k=\mathbf Q(\sqrt 7)$. La adopción de la notación $x_{\pm}=\sqrt {3 \pm \sqrt 7}$ sugerido por @Mindlack, vamos a escribir $K_{\pm}=k(x_{\pm})$. Estos son dos extensiones de $k$ de grado en la mayoría de las $2$ :

• si $K_{+}$ o $K_{-} =k$, es decir, $(3 \pm\sqrt 7)\in {k^*}^2$, reglamentando abajo a $\mathbf Q$ muestra que $N(3\pm\sqrt 7)=2$ es un cuadrado en $\mathbf Q^*$: imposible

• si ambos grados son 2, $K_{\pm}\subset K_{\mp}$ fib $K_{\pm}= K_{\mp}$, iff $k(x_{+})= k(x_{-})$, iff $2=(3+\sqrt 7)(3-\sqrt 7)\in {k^*}^2$ (no específicos de cálculo, esto es rudimentario Kummer teoría sobre $k$), iff $\mathbf Q(\sqrt 2)=\mathbf Q(\sqrt 7)$, iff $2.7$ es un cuadrado en $\mathbf Q^*$(de nuevo por Kummer): imposible, porque la $\mathbf Z$ es un UFD ./.

Answer 3

SUGERENCIA: demuestre que ambos tienen un polinomio mínimo $f:=X^4-6X^2+2$ sobre $\Bbb{Q}$ , y por lo tanto que $[\Bbb{Q}(\sqrt{3\pm\sqrt{7}}):\Bbb{Q}]=4$ , pero que el campo de división de $f$ sobre $\Bbb{Q}$ tiene un grado mayor que $4$ .