Subconjunto compacto de espacio de funciones continuas.

Question

Deje $\mathscr{C}[0,1]$ denota el conjunto de funciones continuas con delimitada supremum y deje $K=\{f\in\mathscr{C}[0,1]|\int_0^1f(t)dt=1\}$. A continuación, se $K$ compacto en el espacio $\mathscr{C}[0,1]$? Normalmente, ¿cómo podemos caracterizar los espacios compactos en el espacio de funciones continuas? Se Heine-Borel propiedad trabajar aquí?

Creo que Heine-Borel, como $[0,1]$ es un compacto Hausdorff espacio. Luego, utilizando una función similar a los picos, o, un poco como Dirac-función Delta, creo que el espacio de $K$ no es compacto. Mi argumento es verdadero? Cualquier sugerencias? Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $f_n(t)=(n+1)t^n$ . Luego $f_n \in K$ para todos $n$ . ¿Se puede proceder?

Answer 2

Considerar la secuencia de $(f_n)_n$ dado por $f_n(x) = 1+n\sin(2\pi x)$. Tenemos $(f_n)_n \subseteq K$ pero $$\|f_n\|_\infty \ge f_n\left(\frac14\right) = 1+n\sin\left(\frac\pi2\right) = 1+n $$

Por lo tanto $K$ no es limitada por lo que no puede ser compacto.

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Un argumento alternativo: definir un funcional lineal $\phi : C[0,1] \to \mathbb{R}$ como $\phi(f) = \int_0^{1/2}f(t)\,dt$. Tenemos que $\phi$ es limitada y, por tanto, continua con respecto a la supremum norma.

Si $K$ eran compactas, $\phi|_K$ sería una limitada función. Sin embargo, para las funciones de la $(f_n)_n$ tenemos encima $$\phi(f_n) = \int_0^{1/2}f_n(t)\,dt = \frac12 + \frac{n}\pi$$ lo cual es una contradicción.