Quizás es en la extracción de los valores que están teniendo problemas con el. Si es así, aquí es un lugar (tedioso y laborioso) manera de hacerlo.
De Eq. (590) en el enlace, uno tiene
$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{H_n x^n}{n} = \operatorname{Li}_2 (x) + \frac{1}{2} \ln^2 (1 - x).$$
Establecimiento $x = e^{i\pi /3}$ vemos que
\begin{align}
\sum_{n = 1}^\infty \frac{H_n}{n} \cos \left (\frac{n \pi}{3} \right ) &= \operatorname{Re} \sum_{n = 1}^\infty \frac{H_n}{n} e^{i \pi n/3}\\ &= \operatorname{Re} \left [\operatorname{Li}_2 \left (e^{i\pi/3} \right ) + \frac{1}{2} \ln^2 \left (1 - e^{i \pi/3} \right ) \right ].
\end{align}
El registro de término puede ser eliminado inmediatamente. Aquí
$$\ln (1 - e^{i \pi/3}) = -\frac{i \pi}{3}.$$
Para el dilogarithm plazo, $\operatorname{Re} \operatorname{Li}_2 (e^{i \theta})$ es una función primaria (por una razón de por qué, ver aquí), y supone un valor para este término puede ser encontrado. Lo que presento a continuación es una manera de encontrar (y no hay duda de otros, maneras más simples).
Comenzando con la serie de la representación de la dilogarithm función, tenemos
\begin{align}
\operatorname{Re} \left [\operatorname{Li}_2 (e^{i \pi/3}) \right ] &= \operatorname{Re} \sum_{n = 1}^\infty \frac{e^{in \pi/3}}{n^2}\\
&= \sum_{n = 1}^\infty \frac{\cos \left (\frac{n \pi}{3} \right )}{n^2}\\
&= \sum_{\substack{n = 1\\n \in 6,12,\ldots}}^\infty \frac{1}{n^2} - \sum_{\substack{n = 1\\n \in 3,9,\ldots}}^\infty \frac{1}{n^2} + \frac{1}{2} \sum_{\substack{n = 1\\n \in 1,7,\ldots}}^\infty \frac{1}{n^2}\\
& \quad - \frac{1}{2} \sum_{\substack{n = 1\\n \in 2,8,\ldots}}^\infty \frac{1}{n^2} + \frac{1}{2} \sum_{\substack{n = 1\\n \in 5,11,\ldots}}^\infty \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2} \sum_{\substack{n = 1\\n \in 4,10,\ldots}}^\infty \frac{1}{n^2}.
\end{align}
Términos de la serie se pueden cambiar a medida que la serie converge absolutamente. Cambio de los índices de la siguiente manera: $n \mapsto 6n$, $n \mapsto 6n + 3$, $n \mapsto 6n +1$, $n \mapsto 6n + 2$, $n \mapsto 6n + 5$, $n \mapsto 6n + 4$ conduce a
\begin{align}
\operatorname{Re} \left [\operatorname{Li}_2 (e^{i \pi/3}) \right ] &= \frac{1}{36} \sum_{n =1}^\infty \frac{1}{n^2} - \frac{1}{36} \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{(n + 1/2)^2} + \frac{1}{72} \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{(n + 1/6)^2}\\
& \quad - \frac{1}{72} \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{(n + 1/3)^2} + \frac{1}{72} \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{(n + 5/6)^2} - \frac{1}{72} \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{(n + 2/3)^2}\\
&= \frac{1}{72} \left [2 \cdot \zeta (2) - 2 \psi^{(1)} \left (\frac{1}{2} \right ) + \psi^{(1)} \left (\frac{5}{6} \right ) + \psi^{(1)} \left (\frac{1}{6} \right ) - \psi^{(1)} \left (\frac{2}{3} \right ) - \psi^{(1)} \left (\frac{1}{3} \right ) \right ],
\end{align}
donde $\psi^{(1)} (z)$ es el polygamma función (trigamma función).
Usando los valores conocidos de $\zeta (2) = \pi^2/6$, $\psi^{(1)} (1/2) = \pi^2/2$, y haciendo uso de la reflexión de la relación de la trigamma función de
$$\psi^{(1)} (1 - z) + \psi^{(1)} (z) = \pi^2 \csc^2 (\pi z),$$
vemos que
$$\operatorname{Re} \left [\operatorname{Li}_2 (e^{i \pi/3}) \right ] = \frac{1}{72} \left [2 \cdot \frac{\pi^2}{6} - 2 \cdot \frac{\pi^2}{2} + 4 \pi^2 - \frac{4 \pi^2}{3} \right ] = \frac{\pi^2}{36}.$$
Así
$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{H_n}{n} \cos \left (\frac{n \pi}{3} \right ) = \frac{\pi^2}{36} - \frac{\pi^2}{18} = -\frac{\pi^2}{36},$$
como se desee.
