Supongamos que $e^A$ y $e^B$ son dos rotaciones en $\mathrm{SO}(n)$ . Si $e^{A}e^{B} = e^{B}e^{A}$ ¿podemos concluir que $e^{A+B}=e^Ae^B$ ? Y lo que es más importante, ¿podemos decir que $AB=BA$ ?
Me interesan especialmente los casos en los que $n=2,3,4$ porque estaba trabajando en un problema de física que se planteó esta cuestión. $n=3$ es el caso más importante para mí.
Preguntas similares --- sin el requisito de que $e^A,e^B\in SO(n)$ --- ya se ha preguntado muchas veces en este sitio. Véase Si $e^A$ y $e^B$ desplazarse, hacer $A$ y $B$ ¿Ir al trabajo? por ejemplo.
La respuesta sigue siendo "no" aunque exija que $A,B$ son asimétricas y $e^A,e^B\in SO(n,\mathbb R)$ cuando $n\ge3$ . Considere $$ A=\pmatrix{0&-2\pi&0\\ 2\pi&0&0\\ 0&0&0},\ B=\pmatrix{0&0&0\\ 0&0&-2\pi\\ 0&2\pi&0}. $$ Entonces $e^A$ conmuta con $e^B$ porque ambos exponenciales matriciales son iguales a $I_3$ pero $$ AB-BA=\pmatrix{0&0&4\pi^2\\ 0&0&0\\ -4\pi^2&0&0}\ne0 $$ y los valores propios de $A+B$ son $0$ y $\pm\sqrt{8}\pi i$ de modo que $e^{A+B}$ es similar a $\operatorname{diag}(1,e^{\sqrt{8}\pi i},e^{-\sqrt{8}\pi i})$ y no puede ser igual a $e^Ae^B=I_3$ .
Sin embargo, en un caso "genérico", la respuesta a su pregunta es "sí". Más concretamente, si los espectros de $A$ y $B$ son $2\pi i$ -(esta suposición no se cumple en el contraejemplo anterior), entonces $e^A$ conmuta con $e^B$ sólo si $A$ y $B$ conmutar. Por lo tanto, también tenemos $e^{A+B}=e^Ae^B$ en este caso. Véase Es $\exp:\overline{\mathbb{M}}_n\to\mathbb{M}_n$ ¿inyectivo? (y respuesta de loup blanc en particular) para más detalles.
En $n=2$ y $A,B$ son asimétricas, la respuesta es sí, porque todas las matrices asimétricas conmutan en este caso.
Espera... ¿No están todos los elementos en $\mathrm{SO}(n)$ ¿la exponencial de alguna matriz simétrica sesgada? :( al menos para $n=2,3$ Así que.., $\exp(\cdot): \mathrm{Skew}(n) \to \mathrm{SO}(n)$ no es suryectiva en general?
Si $A \in \mathrm{SO}(n)$ entonces $|\lambda|=1$ para cada valor propio $\lambda$ de $A$ . Por lo tanto, el conjunto de valores propios de $A$ es $2 \pi i - $ congruencia - libre.
Ahora eche un vistazo en http://www.math.kit.edu/iana3/~schmoeger/seite/publikationen/media/normexpproc.pdf
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Para $n=3$ son ciertamente conmutables porque giran alrededor del mismo eje pero en ángulos diferentes, $R=e^{\theta S(v)}$ así que $A=\theta S(v)$
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@Widawensen Bueno, intuitivamente sí. Precisamente por eso hice esta pregunta en primer lugar. Pero, ¿cómo se concluye de $e^Ae^B=e^Be^A$ que $AB=BA$ ?
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Si la forma general de ambas matrices es $A=\theta_1 S(v)$ y $B=\theta_2 S(v)$ deben desplazarse.
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@Widawensen No, me refiero a cómo se concluye de $e^Ae^B=e^Be^A$ que tienen el mismo eje?
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De esto no se pero se puede concluir de la representación cuaternion de la rotación . Véase math.stackexchange.com/questions/1863176/
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Algo obvio, pero si $a\in so(3)$ y $||a||=\pi$ entonces $e^a=-Id$ que está en el centro de $SO(3)$ . Probablemente quiera añadir una hipótesis, como los valores propios de $e^a$ y $e^b$ son todos de multiplicidad $1$ .