Determine el valor máximo de

Question

Si $x^2-30x+y^2-40y+576=0$ , encuentra el valor máximo de $\dfrac xy$ .

Primero completé los cuadrados y obtuve $(x-15)^2+(y-20)^2=7^2$ , que es la ecuación de un círculo.

Creo que necesito usar algunas propiedades pero no sé qué hacer a continuación.

Answer 1

Al usar el triángulo pitagórico (7,24,25) en el diagrama, obtengo el punto tangente $$ \left( \frac{96}{5}, \frac{72}{5} \right) $ $ y el máximo de $x/y$ en el círculo como $4/3.$

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Answer 2

$x=15+7\cos2t,y=20+7\sin2t$

Utilice la sustitución de Weierstrass ( https://proofwiki.org/wiki/Weierstrass_Substitution )

y Valor mínimo de expresión dada.

Answer 3

He utilizado recto hasta el cálculo aquí para obtener la respuesta.

Vamos a empezar con el hecho de que el punto máximo se tiene que satisfacer el círculo de la ecuación. Así que la escritura

$$x = 15 + \sqrt{49 - (y-20)^2}$$ Podemos obtener la relación de

$$R = \frac{15 + \sqrt{49 - (y-20)^2}}{y}$$

La diferenciación de este y ajuste a $0$ le daría una larga y angustiosa ecuación a resolver, lo que resultaría en este

$$625y^2 -23040y +202176=0$$ La solución de este que había dos valores de $y=22.464$ o $y=14.39999$

La comprobación de los correspondientes ratios(ignoramos los valores negativos ya que sólo te inferior $x$ y por lo tanto no puede ser parte de maxima). Entre los dos valores y las pruebas al azar de los valores en el límite del círculo, llegamos a la conclusión de que el máximo es de $y=14.399999$, se obtiene un $x=19.199999$ resultando en una proporción de

$$\frac xy = 1.3333$$

NOTA - he dejado un montón de intermediario resolución de ecuaciones que no es difícil, solo el tiempo lento y complejo. Si quieres puedo añadir que como bien

Answer 4

Un método alternativo, utiliza el cálculo. Similar a Sauhard Sharma de la respuesta.

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Primera nota, esta es la ecuación de un círculo centrado en $(15,20)$ radio $7$, por lo que no llega a las $x$ eje (de lo contrario, usted sería capaz de conseguir arbitrariamente grandes valores de $x/y$). El valor de $x/y$ es, obviamente, va a ser máximo en la mitad inferior del círculo, ya que estos tienen menores valores de $y$, con los mismos valores de $x$ como los puntos correspondientes en la mitad superior del círculo. Así que podemos escribir la $$y=20-\sqrt{49-(x-15)^2}$$

Queremos maximizar $$f=\frac xy=\frac{x}{20-\sqrt{49-(x-15)^2}}$$ El rango de $x$ es $[8,22]$. Primero que podemos comprobar si esta función tiene máximos (o, equivalentemente, si su recíproco tiene un mínimo).

$$\frac{d(1/f)}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{20}x-\sqrt{\frac{49}{x^2}-\left(1-\frac{15}x\right)^2}\right)=0\\-\frac{20}{x^2}-\frac12\left(-\frac{49\cdot2}{x^3}-2\left(1-\frac{15}x\right)\left(\frac{15}{x^2}\right)\right)\left(\frac{49}{x^2}-\left(1-\frac{15}x\right)^2\right)^{-1/2}=0\\\left(\frac{49}{x^3}+\frac{15}{x^2}-\frac{225}{x^3}\right)^2=\frac{400}{x^4}\left(\frac{49}{x^2}-1+\frac{30}{x}-\frac{225}{x^2}\right)\\\left(15x-176\right)^2=400\left(-x^2+{30}x-176\right)\\625x^2-17280x+101396=0$$This has solutions $$x_\pm=\frac{1728}{125}\pm\frac{2\sqrt{112771}}{125}$$ To maximise $x/y$, we choose the largest value of $x$, giving $x_+=19.197\dots$, which corresponds to $y=14.3977\dots$. This gives $$\frac xy=1.3333\dots\approx\frac43$$

Answer 5

1)Círculo de $(x-15)^2+(y-20)^2=7^2;$

Máximo de $C:= x/y:$

2) la Línea de $y=(1/C)x = mx$ , donde $m= 1/C$.

Minimizar $m$(m >0 , ¿por qué?)

Hay 2 tangentes a la circunferencia que pasan por el origen.

Fórmula de la distancia (punto a de la línea):

$ \left | \dfrac{-m(15)+ 1(20)}{\sqrt{m^2+1}}\right |=7.$

Ecuación de segundo grado en $m$.

El uso de los más pequeños de la solución de $m$ conseguir $C_{max} (=1/m).$

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Distance_from_a_point_to_a_line