¿Por qué una matriz $A\in \operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ con $|\operatorname{tr}(A)|<2$ ¿conjugado a una matriz de la siguiente forma?

Question

El rastro $\operatorname{tr}(A)$ de una matriz $A$ es la suma de sus entradas diagonales. Aparentemente, si $A\in \operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ y $|\operatorname{tr}(A)|<2$ entonces $A$ es conjugado en $\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ a una matriz de la forma

$$\left(\begin{array}{cc} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{array}\right).$$

¿Por qué es esto? Parece que he olvidado mi álgebra lineal.

Answer 1

Cuando asumimos que $|tr(A)|<2$ para algunos $A\in SL(2,\mathbb{R})$ entonces las raíces del polinomio característico $$ 0=\det(A-tI_2)=t^2-tr(A) t+\det A=t^2-tr(A) t+1 $$ son complejos conjugados entre sí, y por tanto en el círculo unitario, por lo que son de la forma $e^{\pm i\theta}$ . Esto ya implica que $A$ sería conjugada a esa matriz de rotación en $SL(2,\mathbb{C})$ . Para demostrar que son conjugados también en $SL(2,\mathbb{R})$ requiere un poco más.

Answer 2

Comprueba el teorema 3.1 de este documento: Descomponiendo $SL_2(R)$