¿Existe una función$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que$\lim\limits_{x\to p}f(x)=\infty$ para cada$p \in \mathbb{R}$

Question

Me preguntaba si hay una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que su límite en cada punto sea infinito.

Supongo que no, porque se vería su gráfico, pero, de nuevo, no sé cómo probarlo.

Answer 1

Si $f$ es una función de y $M>0$ luego $$ \forall x_0\in \! [0,1] \qquad \exists \delta_{x_0}\ \qquad \ 0<|x-x_0|<\delta_{x_0} \implies f(x)>M.$$ Pero $$\bigcup_{x_0\in [0,1]} B(x_0,\delta_{x_0})\setminus \{x_0\}\supseteq [0,1]$$ y $[0,1]$ es compacto, por Lo que existe $x_1,\ldots , x_n$ tales que $$B(x_1,\delta_{x_1})\cup \ldots \cup B(x_n,\delta_{x_n}) \setminus \{x_1,\dotsc,x_n\}\supseteq [0,1]$$ Por lo $f(x)>M$ para todos los $x\in [0,1]\setminus\{x_1,\ldots,x_n \} $. Por lo $ \{ x: f(x)\le M \} $ es en la mayoría de los contables y $$\bigcup\limits_{M\in \mathbb{N}} \{ x:f(x)\le M \}$$ is at most countable. Since $[0,1]$ is uncountable, this is absurd hence no such $f$ existe.

Answer 2

Vamos a mostrar que este tipo de función $f$ no existe.

Elija cualquier función de $f:\mathbb R\to\mathbb R$ y, para cada entero positivo $n$, considerar el conjunto $$A_n=\{x\in[0,1]\,;\,|f(x)|\leqslant n\}$$ then, since $f(x)$ is finite for every $x$, $$\bigcup_nA_n=[0,1]$$ in particular, there exists some $n$ such that $A_n$ es infinito.

Escoja una secuencia $(x_k)$ tal que $x_k\ne x_j$ por cada $k\ne j$ e $x_k$ es de $A_n$ por cada $k$. Entonces el conjunto $X=\{x_k\,;\,k\geqslant0\}$ es infinita y tal que $X\subseteq A_n$. Desde $[0,1]$ es compacto, $X$ tiene un punto límite $p$ en $[0,1]$. Suponer sin pérdida de generalidad que $\lim\limits_{k\to\infty}x_k=p$ y que $x_k\ne p$ por cada $k$.

Ahora, $|f(x_k)|\leqslant n$ por cada $k$ por lo tanto $\lim\limits_{x\to p}|f(x)|=+\infty$ es imposible, porque la $\lim\limits_{k\to\infty}x_k=p$ con $x_k\ne p$ por cada $k$ e $\limsup\limits_{k\to\infty}|f(x_k)|\leqslant n$.