Ayudar a rellenar los detalles para demostrar que $\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^n=\frac{e}{e-1}$

Question

Así que tenemos, $$\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^n &= \lim_{n\to\infty} \sum_{j=0}^{n-1}\bigg(\frac{n-j}{n}\bigg)^n \\ &= \lim_{n\to\infty} \bigg(1+\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n+...+\bigg(1-\frac{n-1}{n}\bigg)^n\bigg) \\ &= 1+e^{-1}+e^{-2}+... \\ &= \frac{e}{e-1} \end{align},$$

pero mi problema es pasar de la segunda a la tercera línea. Como el límite involucra tanto al sumando como a la suma y no estoy seguro de cómo esta línea es "legal", es decir, qué es lo que permite es aplicar el límite primero a cada término y luego a la suma, a saber por qué es que $\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigg(1+\frac{-k}{n}\bigg)^n=\sum\limits_{k=0}^\infty\lim\limits_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{-k}{n}\bigg)^n$ ? ¿Existe un doble límite? ¿Pero se puede tener un doble límite que involucre a la misma variable? ¿Es algún caso especial del Teorema de Fubini, y si es así me cuesta mucho ver cómo? ¿O tal vez es una suma de Riemann? Si es así no estoy seguro de cómo mostrarlo o manipularlo para demostrarlo. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto requiere una justificación.

Utiliza primero la primera $m$ términos con $m$ arreglado para ver que $\sum\limits_{k=1}^{n} (\frac k n)^{n} \geq 1+(1-\frac 1n)^{n}+\cdots+(1-\frac m n)^{n}$ para $n >m$ que da $\liminf\sum\limits_{k=1}^{n} (\frac k n)^{n} \geq 1+e^{-1}+e^{-2}+\cdots+e^{-m}$ para cada $m$ . Ahora dejemos que $m \to \infty$ .

A continuación, utilice la desigualdad $1-x \leq e^{-x}, x \geq 0$ para demostrar que para cada $n$ tenemos $ \sum\limits_{k=1}^{n} (\frac k n)^{n} \leq $ RHS. [ $(1-\frac j n)^{n} \leq (e^{-j/n})^{n}=e^{-j}$ para cada $j$ ].