¿Es posible multiplicar un conjunto por un número natural?

Question

Digamos que tengo un conjunto $S=\{1, 4, 10, 7\}$ . ¿Podría entonces multiplicar $S$ por $3$ ? ¿Se vería entonces como $3S=\{3, 12, 30, 21\}$ ? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Claro, a veces, por ejemplo, denotamos el conjunto de enteros pares por $2\Bbb Z=\{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$ mientras que el conjunto de enteros es $\Bbb Z=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ .

Answer 2

Sí ya has definido la operación una multiplicación escalar sobre un conjunto.

Answer 3

De hecho, esto está estrechamente relacionado con las imágenes de las funciones:

Dejemos que $f: A \to B$ sea una función entre dos conjuntos y $A' \subseteq A$ entonces definimos $$f[A'] := \{f(a)\ |\ a \in A'\}\quad \left(= \{b \in B\ |\ \exists a' \in A'. f(a') = b\}\right)$$

Su idea es una instancia específica:

Dejemos que $A' = \{1, 4, 10, 7\} \subseteq \mathbb{N} =: A$ y $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sea la operación "multiplicar por tres", entonces $$f[A'] = \{3, 12, 30, 21\}$$

La otra respuesta se insinúa la notación $NA'$ Por ejemplo $3A'$ .

Tenga en cuenta que, en general, sólo $|A'| \geq |f[A']|$ se mantiene, por ejemplo, considere $0\mathbb{Z} = \{0\}$ . Sin embargo, con este "marco de funciones", es fácil establecer un criterio para cuando la igualdad se mantiene:

Si $f$ es inyectiva en $A'$ entonces $|A'| = |f[A']|$ .

O en palabras: "Si mapeas diferentes elementos en $A'$ a diferentes elementos en $B$ entonces, ciertamente, no podemos perder elementos debido a los duplicados en el conjunto $f[A']$ ."

¿Puedes ver por qué $|2\mathbb{Z}| = |\mathbb{Z}|$ ? Esto demuestra que "hay tantos números pares como enteros". (Por supuesto, primero hay que definir la función de cardinalidad $|\cdot|$ para conjuntos infinitos arbitrarios primero).