¿No es errónea esta demostración de un teorema sobre el carácter cerrado de un conjunto?

Question

Estaba leyendo una demostración del siguiente teorema en mi libro de texto:

Un conjunto $A$ es cerrado si $A' \subseteq A$ .

Prueba: Supongamos que $A$ está cerrado y $x \in A'$ . Si $x \notin A$ entonces $x\in A^c$ un conjunto abierto. Así, $\mathcal{N}(x, \delta)\subseteq A^c$ para algún positivo $\delta$ . Pero entonces $\mathcal{N}(x, \delta)$ no puede contener ningún punto de $A$ . Así, $x$ no es un punto de acumulación de $A$ y así $x\notin A'$ una contradicción. Concluimos que $x\in A$ . Por lo tanto, $A'\subseteq A$ .

Supongamos ahora que $A'\subseteq A$ . Para demostrar que $A$ está cerrado, mostramos $A^c$ está abierto. Si $A^c$ no está abierto, hay $x\in A^c$ que no es un punto interior de $A^c$ . Por lo tanto, no $\delta$ -vecino de $x$ es un subconjunto de $A^c$ es decir, cada $\delta$ -vecino de $x$ contiene un punto de $A$ . Este punto debe ser diferente de $x$ ya que $x\in A^c$ . Así, $x\in A'$ . Pero $A'\subseteq A$ Así que $x\in A$ . Esto es una contradicción. Concluimos que $A$ está cerrado.

En algún momento de la prueba, el complemento de $A$ está demostrado que está abierto. Para conseguirlo, el autor asume primero que no es abierto y produce una contradicción. Pero, ¿no es un error, ya que es posible que un conjunto no sea ni abierto ni cerrado?

Answer 1

Aquí no hay problemas. Tenga en cuenta que el autor no lo hace suponga que $A^c$ para ser cerrado. Sólo que no está abierto. Y como "abierto" significa "para cualquier punto del conjunto, tenemos una determinada propiedad", obtenemos que "no abierto" significa "para al menos un punto del conjunto, no tenemos esa propiedad". El punto $x$ que eligen es uno de esos puntos cuya existencia está garantizada por ese supuesto.

Answer 2

Hay cuatro posibilidades

1) $A^c$ está abierto y cerrado.

2) $A^c$ está abierto y no cerrado.

3) $A^c$ no está abierto ni cerrado.

4) $A^c$ no está abierto ni cerrado.

Lo asumió: $A^c$ no está abierto. Eso significa que $3$ o $4$ . Tiene una contradicción. Eso demuestra que ambos $3$ y $4$ son ambos falsos. Por lo tanto, las únicas posibilidades son $1$ o $2$ . Así que concluye $1$ o $2$ es cierto. Lo que significa que .... $A^c$ está abierto.

Sin embargo, como no le importaba un higo carnívoro si $A^c$ estaba cerrado o no, no lo mencionó en absoluto.

Así que todo se reduce a:

I) $A^c$ está abierto. o

II) $A^c$ no está abierto.

Supone que II) obtiene una contradicción, y concluye I). $A^c$ está abierto. Ahora tal vez $A^c$ está cerrado. O quizá no lo esté. No le importa y no hizo ninguna suposición al hecho.

Pero él hace lo saben, y correctamente. Que $A^c$ está abierto....