área máxima de tres círculos

Question

Hola, soy nuevo aquí y tengo una pregunta de cálculo que surgió en el trabajo.

Supongamos que tienes un $4' \times 8'$ un trozo de madera contrachapada. Necesitas 3 piezas circulares de igual diámetro. ¿Cuál es el tamaño máximo de los círculos que puedes cortar de esta pieza de material? Esperaba poder escribir una función para el área de los 3 círculos en términos de $x$ y $y$ y luego diferenciarlo, encontrar un punto de máximo/mínimo e ir desde allí.

Mi compañero de trabajo cortó tres $33''$ círculos y eso resolvió el problema del mundo real. Pero mi pasión sería encontrar la respuesta matemática a esto. Espero que mis nuevos amigos de stackexchange.com tengan la misma pasión, y puedan ayudarme a encontrar la respuesta a esto en términos generales.

Lo que quiero decir con eso es que alguien dice que tengo un trozo de material unidades Q por unidades 2Q, ¿cuáles son los tres círculos de tamaño máximo... Espero que entiendas lo que te estoy preguntando. Estoy buscando ser un amigo y colaborador BD

Answer 1

Creo que la configuración óptima es la que se muestra a continuación, con los círculos tangentes a los lados del rectángulo y entre sí.

Que el rectángulo tenga lados de longitud $Q$ y $2Q$ como has especificado, y que el radio de los tres círculos sea $r$ . Consideremos el triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa el segmento que une los centros de los círculos de la izquierda y del medio y cuyos catetos son paralelos a los lados del rectángulo.

La hipotenusa tiene una longitud $2r$ y las piernas tienen longitudes $Q-r$ y $Q-2r$ por lo que por el teorema de Pitágoras, $(2r)^2=(Q-r)^2+(Q-2r)^2$ . Resolver para $r$ en términos de $Q$ da $r=(3\pm\sqrt{7})Q$ pero como $r<Q$ , $r=(3-\sqrt{7})Q\approx 0.354249Q$ . Para su tablero de 4 por 8, eso da un radio óptimo de aproximadamente $0.354249\cdot 48\approx 17.0039$ pulgadas, es decir, un diámetro de algo más de 34 pulgadas.

Answer 2

Si nos restringimos a la clase de grafos planos, entonces existe un algoritmo de tiempo lineal debido a Eppstein . También es lineal para los grafos de ancho de árbol acotado, ya que el problema de encontrar un ciclo de longitud fija puede codificarse fácilmente como una fórmula lógica monádica de segundo orden, y entonces podemos apelar al teorema de Courcelle.

Editar. El problema relacionado de encontrar un ciclo de longitud $a$ (mod $k$ ) no se ha demostrado que sea polinómica (excepto en el caso $a=0$ ).

Answer 3

Isaac tuvo la intuición correcta.

Utilicé Matlab para optimizar globalmente el radio bajo la constrait de que los tres círculos tienen el mismo radio, están en el rectángulo y no se cruzan entre sí. Lo que obtuve se muestra arriba,

R = 1.41699,

Pos1 = (6.58301,2.58301)

Pos2 = (1.41699,2.58301)

Pos3 = (4.0,1.41699)

Ten en cuenta que 1,41699"=17,00388 pulgadas por lo que Isaac encontró la solución analítica.

Debido a la solicitud aquí la fuente de Matlab (sí Matlab es de hecho más potente que u piensa):

circleradius.m:

%% x = [pos1X,pos1Y,pos2X,pos2Y,pos3X,pos3Y,r]
function f = circleradius(x)
f = -x(7); %% minimize the maximum :D

restricciones.m

%% x = [pos1X,pos1Y,pos2X,pos2Y,pos3X,pos3Y,r]
function [c, ceq] = contraints(x)
c = [4*x(7)^2 - ((x(1) - x(3))^2 + (x(2) - x(4))^2); %% d(Circle1,Circle2)<=(2r)^2
4*x(7)^2 - ((x(1) - x(5))^2 + (x(2) - x(6))^2);
4*x(7)^2 - ((x(3) - x(5))^2 + (x(4) - x(6))^2); 
x(7) - x(1);  %% Circles are in the rectangle
x(7) - x(3); 
x(7) - x(5); 
x(7) - x(2);
x(7) - x(4);
x(7) - x(6);
x(7) + x(1) - 8; %% Width is 8
x(7) + x(3) - 8;
x(7) + x(5) - 8;
x(7) + x(2) - 4; %% Height is 4
x(7) + x(4) - 4;
x(7) + x(6) - 4;
-x(1); -x(2); -x(3); -x(4); -x(5); -x(6); -x(7)]; %% No negative values
ceq = [ ];

Más tarde en la ventana principal:

[x,fval,exitflag] = patternsearch(@circleradius,[0.5000 1 1.5000 1 2.5000 1 0.5000],[],[],[],[],[],[],@contraints)
output of x >> 4.0000    2.5830    1.4170    1.4171    6.5830    1.4171    1.4170

Nótese que los valores están truncados y que la anterior es una solución simétrica a la que publiqué antes. Puedes hacer que use una malla de tamaño 10e-10, así estás casi seguro de obtener el máximo global, ya que la función es continua. Además el resultado es más rápido y fiable que NMinimize de Mathematica.