La función no es de variación acotada

Question

Dejemos que $f$ no son de variación acotada en [0,1]. Demuestre que existe un punto $x_0$ en [0,1] tal que $f$ no es de variación acotada en cada subintervalo cerrado no degenerado de [0,1] que contenga $x_0$ . Estoy tratando de probar esto directamente, pero creo que tal vez una prueba por contradicción podría funcionar aquí. ¿No podríamos suponer que $f$ es de variación acotada en todo subconjunto cerrado y acotado de [0,1] para comenzar la prueba por contradicción? Tal vez entonces podríamos dividir el intervalo [0,1] de manera que terminemos con una situación en la que $f$ es de variación acotada en un subintervalo que contiene $x_0$ ? Agradecería que me ayudaran.

Answer 1

Apuesto por la compacidad...

Quiere demostrar que si $f\notin BV([0,1])$ entonces se cumple lo siguiente: $$ \exists x_0\in [0,1] :\ \forall I \subseteq [0,1] \text{ nondegenerate closed subinterval containing } x_0,\ f\notin BV(I) $$

Si se argumenta por contradicción, se asume que:

$$\forall x\in [0,1],\ \exists I_x\subseteq [0,1] \text{ nondegenerate closed subinterval containing } x:\ f\in BV(I)$$

La familia $\{\text{int }I_x\}_{x\in [0,1]}$ cubre $[0,1]$ ( $\text{int}$ denota el interior con respecto a la topología inducida en $[0,1]$ ), por lo que por compactación se puede encontrar $x_1,\ldots ,x_N \in [0,1]$ s.t. $[0,1]=\bigcup_{n=1}^N \text{int }I_{x_n}$ Así que $[0,1]=\bigcup_{n=1}^N I_{x_n}$ Ahora $f\in BV(I_{x_n})$ para $n=1,\ldots ,N$ Por lo tanto $f\in BV([0,1])$ , lo cual es una contradicción.

Creo que funciona... Pero hay que comprobar los detalles.

Answer 2

Me pasé media hora tratando de probar esto antes de darme cuenta de que obviamente es incorrecto. Por ejemplo:

$f(x) = 0$ si $x \le \frac{1}{2}$ Si no es así $f(x) = 1/(x-\frac{1}{2})$

¿Querías $f$ para ser continua? Creo que sigue siendo un error. Algo así como:

$f(x) = 0$ si $x \le \frac{1}{2}$ Si no es así $f(x) = (x-\frac{1}{2})\sin(1/(x-\frac{1}{2}))$

Answer 3

Como mencionó Didier, la declaración correcta probablemente sea:

Demuestre que existe un punto x0 en [0,1] tal que f no es de variación acotada en cada subintervalo cerrado no degenerado cerrado no degenerado de [0,1] que sea una vecindad de x0 en [0,1].

He aquí una prueba alternativa:

Utilizamos la notación estándar $V_a^b(f))$ para denotar la variación de $f$ en $[a,b]$ .

Dejemos que $A : =\{ x \in [0,1] | V_0^x(f) < \infty \}$ .

Entonces $0 \in A , 1 \notin A$ y es muy fácil ver que $x_0=\sup A$ funciona.