Transformada de Fourier de $f(x) = \chi\cos^n(\pi x)$

Question

Me encontré con una publicación abandonada de 2013 en la que el OP no muestra ningún trabajo, solo una declaración del problema. El OP fue visto por última vez en mayo de 2013, así que dudo que regrese a editar su publicación con trabajo relevante. Sin embargo, el problema parece interesante, así que lo estoy publicando con mi propio trabajo. La publicación original se puede encontrar aquí . En la publicación, @DilipSarwate comenta diciendo que escriba el coseno en forma exponencial y use el teorema del binomio.

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Estamos tratando de encontrar la transformada de Fourier de $$ f(x) = \chi\cos^n(\pi x) $$ donde $n\in\mathbb{N}$, $x\in\mathbb{R}$, y $$ \chi = \begin{cases} 1, & -1/2 ¿Podemos intercambiar la suma e integral aquí? Si es así, tenemos

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$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^n}\binom{n}{k}\int_{-1/2}^{1/2}\exp\bigl[i(\pi n - 2\pi k + \omega)x\bigr]dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^n}\binom{n}{k}\frac{2\sin\bigl[1/2(\pi n - 2\pi k + \omega)\bigr]}{\pi n - 2\pi k + \omega} $$ Desde Mathematica, sé que la suma se evalúa como $$ \sum = -\frac{ n! \sin \bigl(\frac{1}{2} (\pi n+\omega )\bigr) \Gamma \bigl(-\frac{\pi n+\omega }{2 \pi }\bigr)}{2^n\pi \Gamma \Bigl[(\frac{1}{2} \bigl(n-\frac{\omega }{\pi }+2\bigr)\Bigr]} $$ pero no sé cómo evaluarlo analíticamente. Toda esta parte estaba bajo la suposición de que la suma y la integral pueden intercambiarse.

Answer 1

Dado que $n$ es finito, solo hay una suma finita. Por lo tanto, se permite intercambiar la suma y la integración.

Para calcular la suma, comenzamos con esto, sin haber intercambiado la suma y la integración:

\begin{align} \sum&=\int_{-1/2}^{1/2}\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^n}\binom{n}{k}\exp\bigl[i(\pi n - 2\pi k + \omega)x\bigr]dx\\ &=\int_{-1/2}^{1/2}\frac{1}{2^n}\left[\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}e^{-2i\pi kx}\right]e^{i(n\pi+ \omega)x}dx\\ &=\frac{1}{2^n}\int_{-1/2}^{1/2}(1+e^{-2i\pi x})^ne^{i(n\pi+ \omega)x}dx\equiv \frac{1}{2^n}I(n,n\pi+\omega)\\ &=\frac{1}{2^n}\int_{-1/2}^{1/2}(1+e^{-2i\pi x})^n\left[\frac{e^{i(n\pi+ \omega)x}}{i(n\pi+\omega)}\right]'dx\\ &=\frac{1}{2^n}\left[(1+e^{-2i\pi x})^n\frac{e^{i(n\pi+ \omega)x}}{i(n\pi+\omega)}\right]_{-1/2}^{1/2}+\frac{1}{2^n}\int_{-1/2}^{1/2}2in\pi e^{-2i\pi x}(1+e^{-2i\pi x})^{n-1}\left[\frac{e^{i(n\pi+ \omega)x}}{i(n\pi+\omega)}\right]dx\\ &=\frac{1}{2^n}\frac{2\pi n}{n\pi+\omega}\int_{-1/2}^{1/2}(1+e^{-2i\pi x})^{n-1}e^{i(n\pi+\omega-2\pi)x}dx\\ &=\frac{1}{2^n}\frac{2\pi n}{n\pi+\omega}I(n-1,(n-2)\pi+\omega) \end{align}

Repitiendo esto $n$ veces, se obtiene:

\begin{align} I(n,n\pi+\omega)&=n!\prod_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\frac{\omega}{2\pi}+\frac{n}{2}-k}I(0,\omega-n\pi)\\ &=n!\prod_{k=0}^{n-1}\frac{-1}{k-\frac{\omega}{2\pi}-\frac{n}{2}}\int_{-1/2}^{1/2}e^{i(\omega-n\pi)x}dx\\ &=n!(-1)^{n}\prod_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k-\frac{\omega}{2\pi}-\frac{n}{2}}\left[\frac{e^{i(\omega-n\pi)x}}{2\pi i(\frac{\omega}{2\pi}-\frac{n}{2})}\right]_{-1/2}^{1/2}\\ &=n!(-1)^{n+1}\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{k-\frac{\omega}{2\pi}-\frac{n}{2}}\left[\frac{2i\sin\left(\frac{1}{2}(\omega-n\pi)\right)}{2\pi i}\right]\\ &=n!(-1)^{n+1}\frac{\Gamma(-\frac{\omega}{2\pi}-\frac{n}{2})}{\pi\Gamma(n+1-\frac{\omega}{2\pi}-\frac{n}{2})}\sin\left(\frac{1}{2}(\omega-n\pi)\right)\\ &=n!(-1)^{n+1}\frac{\Gamma(-\frac{\omega}{2\pi}-\frac{n}{2})}{\pi\Gamma(1-\frac{\omega}{2\pi}+\frac{n}{2})}\sin\left(\frac{1}{2}(\omega-n\pi)\right)\\ &=n!(-1)^{n+1}\frac{\Gamma(-\frac{\omega}{2\pi}-\frac{n}{2})}{\pi\Gamma(1-\frac{\omega}{2\pi}+\frac{n}{2})}(-1)^n\sin\left(\frac{1}{2}(\omega+n\pi)\right)\\ \end{align}

Conclusión: $$\sum=-\frac{n!\Gamma(-\frac{\omega}{2\pi}-\frac{n}{2})}{\pi\Gamma(1-\frac{\omega}{2\pi}+\frac{n}{2})}\sin\left((\frac{1}{2}(\omega+n\pi)\right)$$