Criterio para que un límite de operadores invertibles en un espacio de Banach sea invertible

Question

Deje que$A_n$ operadores lineales en un espacio de Banach$B$ que tengan inversos. $||A_n-A|| \to 0$ para algunos operadores$A$.

Necesito probar que$A$ tiene un operador inverso si la secuencia$\{||A_n^{-1}||\}$ está limitada.

Estoy casi seguro de que debería resolverse con el principio de delimitación uniforme, pero no puedo resolverlo, ninguna afirmación.

Answer 1

Supongamos que $(A_n^{-1})$ está acotada. El uso de la identidad de $a^{-1}-b^{-1}=a^{-1}(b-a)b^{-1}$ y el hecho de que $(A_n)$ es una secuencia de Cauchy, se deduce que el $(A_n^{-1})$ es una secuencia de Cauchy. Desde $L(B)$ es completa, existe un operador $T$ tal que $A_n^{-1}\to T$. Tomando el límite de $A_nA_n^{-1}=A_n^{-1}A_n = I$ muestra que $T=A^{-1}$.

Reorganización de la misma identidad, $(I+a^{-1}(b-a))b^{-1}=a^{-1}$. Si $A$ es invertible, entonces $(I+A^{-1}(A_n-A))A_n^{-1}=A^{-1}$. Desde $T_n:=A^{-1}(A_n-A)\to 0$, $I+T_n$ finalmente es invertible, con $(I+T_n)^{-1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-T_n)^k$, e $\|(1+T_n)^{-1}\|\leq \dfrac{1}{1-\|T_n\|}\to 1$. Así, por $n$ suficientemente grande, $A_n^{-1}=(I+T_n)^{-1}A^{-1}$, y esto implica que $(A_n^{-1})$ está acotada.