Desigualdad submartiniana

Question

Dejemos que $X_n$ ser un $F_n$ sub martingala. Supongamos que existe una variable aleatoria integrable $X'$ tal que $X_n \le \mathbb E(X' \mid F_n) \,\text{}a.s. \quad \forall n\in \mathbb N_0$ .

Primero quiero mostrar que $\sup_{n \in \mathbb N_0} \mathbb E(X_n^+) < \infty$ .

$$\sup_n \mathbb E( X_n^+)\overset{\text{assumption}}{\underset{\text{}}{\le}}\sup_n \mathbb E\big(\vert\mathbb E(X' \mid F_n)\vert \big) \le \sup_n \mathbb E\big(\mathbb E(\vert X'\vert \mid F_n) \big)\overset{\text{tower}}{\underset{\text{}}{=}}\sup_n \mathbb E( \vert X' \vert)=\mathbb E(\vert X' \vert)$$ Desde $ X'$ es integrable tenemos $\mathbb E(\vert X' \vert)< \infty$ . Por lo tanto, $\sup_{n \in \mathbb N_0}E(X_n^+) < \infty $ .

Además, quiero mostrar que para el límite de a.s. $ X_\infty \in L^1$ se mantiene.

$$\mathbb E(\vert X_\infty \vert )=\mathbb E( \vert \lim_{n \to \infty}X_n \vert )=\mathbb E( \lim_{n \to \infty} \vert X_n \vert )\le \mathbb E(\lim_{n \to \infty}\vert \mathbb E(X' \mid F_n)\vert)=\mathbb E(\liminf_{n \to \infty}\vert\mathbb E(X' \mid F_n)\vert)\overset{\text{Fatou}}{\underset{\text{}}{\le}}\liminf_{n \to \infty}\mathbb E(\vert \mathbb E(X'\mid F_n)\vert) \le \liminf_{n\to\infty}\mathbb E(\mathbb E(\vert X' \vert \mid F_n))=\liminf_{n\to\infty}E(\vert X' \vert)=\mathbb E(\vert X' \vert)$$ De nuevo $\mathbb E(\vert X' \vert) < \infty$ por suposición.

EDIT: Esto sólo es válido si $ X_n$ no negativo

Si $X_n$ es negativo obtenemos $$E(\vert X_\infty \vert )=E(\lim_{n\to\infty}X_n^-)=E(\liminf_{n\to\infty}X_n^-)\le \liminf_{n\to\infty} E(X_n^-)\le \liminf_{n\to\infty}E(X_n^+)- \liminf_{n\to\infty}E(X_0)=\liminf_{n\to\infty}E(\vert X_0 \vert )< \infty$$ penúltima línea a causa de $\liminf E(X_n^+)=0$

Ahora tengo problemas para mostrar $X_n \le \mathbb E(X_\infty \mid F_n) \forall n\in \mathbb N_0$

Una idea es dividir $X_n$ en partes negativas y positivas y mostrar que son uniformemente integrables. No soy capaz de continuar aquí. La ayuda es muy apreciada y un comentario sobre el intento anterior también es bienvenido.

Edición2 Sin embargo, hay que tener en cuenta los casos en los que $ X_n$ es negativo y positivo

Answer 1

Lo primero es una intuición. $X_n$ es un submartingale. Esto significa que tiende a hacerse más grande. Por lo tanto, en el infinito tenemos que preocuparnos sobre todo de lo que ocurre con la parte positiva. Esto puede leerse directamente del teorema de convergencia de la (sub/super)martingala de Doob.

Ahora, en su primer paso usted mostró esencialmente que $X_n^+$ es un uniformemente integrable secuencia de variables aleatorias positivas. Del teorema de convergencia de Doob se deduce inmediatamente que: $$ X_n^+ \to X_{\infty}^+ \text{ a.s. and in } L_1. $$

Por último, tenemos que ocuparnos de la parte negativa menos importante (aunque complicada). Por la propiedad de submartes: $$ \mathbb{E}[X_n] \ge \mathbb{E}[X_0] . $$ De lo que se deduce inmediatamente (ya que $X_n = X_n^+ - X_n^-$ ): $$ \mathbb{E}[X_n^-] \le \mathbb{E}[X_n^+] - \mathbb{E}[X_0] $$ Ahora en virtud del primer paso y aplicando Fatou se deduce que $X_{\infty} \in L_1.$ En este punto sólo nos queda el último paso. Aquí utilizamos el mismo tratamiento: sabemos que para $m \ge n$ $$ X_n \le \mathbb{E}[X_m | \mathcal{F}_n] = \mathbb{E}[X_m^+ | \mathcal{F}_n] -\mathbb{E}[X_m^- | \mathcal{F}_n]. $$

El primer término de la suma converge en $L^1$ ans a.s. a $\mathbb{E}[X_{\infty}^+ | \mathcal{F}_n].$ Para la segunda aplicamos de nuevo Fatou (el signo invierte la desigualdad).