Una expresión igual a su recíproco (pero no realmente)

Question

"Todo el mundo sabe" que \begin{align} \tan\theta & =\frac{2\tan\frac\theta2}{1 - \tan^2\frac\theta2} = \frac{2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2}{\cos^2\frac\theta2-\sin^2\frac\theta2} \tag 1 \\[10pt] & = \dfrac{\text{2 times a product}}{\text{a difference of two squares}}. \tag 2 \end{align}

En el curso de pensar acerca de la geometría del problema, se convirtió en natural para escribir $$ \tan\dfrac\theta2=\dfrac{J-K}{J+K}. $$

Conectando a $(1)$, obtenemos \begin{align} \tan\theta & = \dfrac{J^2-K^2}{2JK} \\[10pt] & = \dfrac{\text{a difference of two squares}}{\text{2 times a product}}. \tag 3 \end{align}

Así que me quedo por

• el hecho de que la expresión en $(3)$ se ve como el recíproco de que en $(2)$, aunque, por supuesto, son iguales; y
• el pensamiento de que tal aparentemente trivial es, probablemente, el pensamiento de algunas personas como algo de lo que hemos conocido desde la infancia y que se vea repetidamente cada día, y sin pensarlo, comenzando antes del desayuno y duradera hasta que estén bebiendo su coñac en la noche.

Así

• Es la segunda idea que me parece correcta; y
• En qué contextos no esta curioso, pero trivialmente derivados de la inversión de surgir?

Para decirlo de otra manera, es la inversión en cierto sentido no trivial, aunque su etimología es trivial?

PS: he Aquí un poco más sobre el contexto en que esto ocurrió. El círculo de $|z|=1$ $\mathbb C$ es invariante bajo$z\mapsto w=g(z)=\dfrac{Jz+K}{Kz+J}$$J,K\in\mathbb R$, y que la asignación tiene dos puntos fijos: $\pm1$. La imagen de la unidad imaginaria $i$ bajo esta asignación es, por tanto, $e^{i\theta}$ algunos $\theta\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z$. De ello se desprende que $J=1+\tan\frac\theta2$$K=1-\tan\frac\theta2$. Si dejamos $z=e^{i\alpha}$ $w=g(z)=e^{i\beta}$ algunos $\alpha,\beta\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z$, luego \begin{align} \tan\frac\beta2 & = \tan\frac\theta2\cdot\tan\frac\alpha2 \\[12pt] & = \frac{J-K}{J+K}\tan\frac\alpha2. \end{align} De hecho, he olvidado si había una razón por la que quería $\tan\theta$ en términos de$J$$K$. Hay todavía un contexto más amplio en el que he tenido ocasión de hacerlo, pero que sería muy fuera de tema para el presente cuestión.

Answer 1

Editado: Después de leer el postscriptum, mi respuesta inicial, no parecía realmente para abordar la cuestión. He aquí una interpretación geométrica.

Poner a $t = \tan \frac{\theta}{2}$$\tau = K/J$, $$ t = \tan \frac{\theta}{2} = \frac{J - K}{J + K} = \frac{1 - \tau}{1 + \tau},\qquad \frac{2}{1 - t^{2}} = \tan \theta = \frac{J^{2} - K^{2}}{2JK} = \frac{1 - \tau^{2}}{2\tau}. $$

Geométricamente, la "reciprocidad", la relación se manifiesta en el intercambio de coordinar las expresiones en el círculo en el paso de $t$$\tau$, que a su vez viene a partir de las interpretaciones de $t$ $\tau$ como afín a las coordenadas en la $\mathbf{R}$ con respecto a las proyecciones estereográficas de$(-1, 0)$$(0, -1)$, respectivamente.