$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle}
\newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace}
\newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack}
\newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,}
\newcommand{\dd}{{\rm d}}
\newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}
\newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}}
\newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}
\newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}
\newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}
\newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}
\newcommand{\ic}{{\rm i}}
\newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow}
\newcommand{\imp}{\Longrightarrow}
\newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\vert\left\vert\, nº 1\,\right\vert\right\vert}
\newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)}
\newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}}
\newcommand{\pp}{{\cal P}}
\newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,}
\newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}
\newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}
\newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}}
\newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$
\begin{align}&
\left.\begin{array}{rcl}
-\,\partiald{N}{z} & = & -3xz^{2}
\\[1mm]
\partiald{M}{z} & = & 0
\\[1mm]
\partiald{N}{x} - \partiald{M}{y} & = & z^{3}
\end{array}\right\}
\qquad\imp\qquad
\left\{\begin{array}{rcl}
N & = & xz^{3} + \fermi\pars{x,y}
\\[1mm]
M & = & \,{\rm g}\pars{x,y}
\end{array}\right.
\end{align}
Por otra parte,
$$
z^{3} + \partiald{f}{x} - \partiald{g}{y} = z^{3}
\qquad\imp\qquad\partiald{f}{x} = \partiald{g}{y}\etiqueta{1}
$$
De hecho, siempre podemos añadir $\ds{\nabla\Psi}$ cualquier $\ds{\bf F}$ encontramos porque
$\ds{\nabla\times\pars{{\bf F} + \nabla\Psi} = \nabla\times\bf F}$. Por ejemplo, en la aplicación del Teorema de Stokes, $\ds{\oint\nabla\Psi\cdot\dd\vec{r}=0}$
La opción más sencilla, que satisface $\pars{1}$, es
$\ds{\fermi\pars{x,y} = {\rm g}\pars{x,y} = 0\,,\ \forall\ x,y}$. Así,
$$
M=0\,,\qquad N=xz^{3}\qquad\imp\qquad{\bf F}=xz^{3}\,{\bf j}
$$
