¿Los números complejos tienen dimensiones físicas? ¿Es sensato hablar del análisis dimensional de $Z$ donde $Z$ es la impedancia de un sistema mecánico oscilante? ¿O es la $|Z|$ que tiene dimensiones. [ $|Z|$ = módulo de $Z$ ]
Algunas cantidades se complejizan por comodidad matemática y sólo la parte real conserva un significado físico. Cuando se tiene un fasor general, como un potencial o una corriente oscilante, se puede pensar que la amplitud está girando en el plano complejo, de modo que tanto la parte real como la imaginaria tienen la misma dimensión física, y el fenómeno real es sólo la proyección al eje real.
¿Qué quiere decir exactamente con eso? Se pueden asignar dimensiones físicas a los números complejos como se hace con los reales, así que se puede pensar que los fasores son como la rotación de su parte real en un eje imaginario invisible, que es un múltiplo real de I y como tal tiene la misma dimensión que la parte real.
En sentido estricto, los complejos números no tienen dimensiones, porque los números reales puros tampoco las tienen. Por ejemplo, ni $2.45$ ni $2+3i$ representa una cantidad física concreta, por lo que ambas son adimensionales.
Pero los valores complejos cantidades físicas puede tener ciertamente dimensiones. Por ejemplo, la impedancia eléctrica es de valor complejo y tiene las dimensiones de la resistencia (Ohms en unidades del SI). Esto se debe a que una cantidad física de valor complejo es técnicamente igual a un número complejo adimensional por una unidad base adimensional (como "1 Ohm").
La parte real y la imaginaria de cualquier cantidad física de valor complejo deben tener las mismas dimensiones, o no tendría ningún sentido sumarlas (ya que el "factor de conversión" $i$ es adimensional). Otra forma de ver esto es que la norma $|Z| := \sqrt{(\text{Re }Z)^2 + (\text{Im }Z)^2}$ no se definiría si $\text{Re }Z$ y $\text{Im }Z$ tenía diferentes dimensiones.
Sur osciladores tenemos una transformada de fourier de la función de green que tiene polos complejos $\omega_0 + i\Gamma$ . La parte real de este polo es una frecuencia $\omega$ (también tienen unidades) y la parte imaginaria es la inversa de la vida media $\tau$ de la oscilación $\omega_0$ . Este polo es un número complejo que tiene dimensiones físicas. ( más aquí )
Los números complejos son completamente naturales. A veces nos interesa la longitud de estos números, y a veces la proyección de estos números en algún eje.
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