Sistema dinámico con un solo componente de cadena.

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico compacto y $f:X\to X$ ser un surjective mapa.

Una secuencia finita $\{x_n\}_{n=0}^{k}$ se llama $\varepsilon$-cadena si $d(f(x_n), x_{n+1})<\varepsilon$$n=0, \ldots k-1$.

Decimos que el punto de $x$ es de la cadena recurrente si para cada a$\epsilon>0$, $\varepsilon$- de la cadena de $\{x_n\}_{n=0}^{k}$$x_0=x_k=x$; y denotan por $R(f)$ el conjunto de la cadena recurrente puntos.

Estoy interesado en la veracidad de la siguiente afirmación: Si $R(f)$ está conectado, a continuación,$X=R(f)$.

Les agradecería mucho algún contraejemplo o sugerencia para la prueba de ello.

Answer 1

Creo que es cierto y puede ser demostrado a lo largo de las siguientes líneas:

1. Para $n \in \mathbb{Z}_+$ puesto $p_n = f^{(n)}(x)$. Por compacidad, la secuencia $\{p_n\}$ tiene un clúster de punto de $p$. De $\{p_n\}$ podemos construir $\delta$-cadenas mostrando que $p$ es de cadena recurrente, es decir,$p \in R(f)$. También, para todas las $\varepsilon$, un tiempo suficientemente largo del segmento inicial de $\{p_n\}$ nos da un $\varepsilon$-cadena de$x$$p$.

2. Desde $f$ es surjective, hay una secuencia $\{q_n\}_{n=0}^\infty$ tal que $f(q_{n+1}) = q_n$$q_0 = x$. De nuevo, $\{q_n\}$ tiene un clúster de punto de $q$ y de nuevo, $q\in R(f)$. Este tiempo de revertir un segmento inicial de $\{q_n\}$ nos da un $\varepsilon$-cadena de$q$$x$.

3. Desde $R(f)$ está conectado, hay una familia de puntos $\{h_i\}_{i=0}^m$ $R(f)$ tal que $h_0 = p$, $h_m = q$ y $d(h_i, h_{i+1}) < \frac{\varepsilon}{2}$ todos los $i < m$. Tomando un $\frac{\varepsilon}{2}$-cadena de $h_i$ a sí mismo y cambiar la el último punto a $h_{i+1}$ resultados en un $\varepsilon$-cadena de $h_i$ a $h_{i+1}$. La concatenación de estas cadenas, se obtiene un $\varepsilon$-cadena de de$p$$q$.

La combinación de las cadenas de 1, 3 y 2, tenemos un $\varepsilon$-cadena de de $x$ a sí mismo para arbitrario $x\in X$$\varepsilon > 0$. Por lo tanto,$R(f) = X$.

Esto puede parecer una manera indirecta de hacer las cosas. Para ver por qué esto es necesario, considere un caso en el $X$ es un círculo y $f$ es un homeomorphism donde los puntos fijos forma de un semicírculo. Un $\varepsilon$-de la cadena a partir de un punto a sí mismo puede realmente tenemos que ir todo el camino alrededor del círculo, teniendo muchos "saltos" entre puntos fijos. Este es también un ejemplo donde todos los puntos son de la cadena recurrente, pero sólo los puntos fijos son recurrentes.