Demuestre que el círculo$S^1$ no es el límite de ninguna variedad compacta con límite en$\mathbb R^2-{(0,0)}$

Question

Supongamos que se fueron, a continuación, defina un 1 formulario a -$w:=\frac{1}{x^2+y^2}(-y\,\mathrm dx+x\,\mathrm dy)$. En primer lugar , se trata de evaluar $\int_{S^1}w$ por dos vías . En primer lugar, vamos a $F\colon[0,2 \pi]\to S^1$ definido por $F(\theta)=(\sin\theta, \cos\theta)$,$\int_{S^1}w=\int_{[0,2\pi]} F^{\ast}w=\int_{[0,2\pi]}(-\cos^2\theta \,\mathrm d\theta+\sin^2\theta \,\mathrm d\theta)=-2\pi$.

A continuación, quiero evaluar $\int_{S^1}w$, mediante el uso de Stoke teorema (para Ello se utiliza el assupmtion que $S^1$ es el límite de algunos compacto manifold con frontera en $\mathbb R^2-{(0,0)}$).

Si el resultado de esta integral es diferente de $-2\pi$, entonces puedo concluir que la hipótesis es falsa, lo que demuestra el resultado. Sin embargo, no sé cómo evaluar mediante el uso de Stoke, estoy atascado con cómo cambio la 1-forma en 0-formar y evaluar. Gracias por la ayuda!

Answer 1

Si$S^1$ es el único componente de límite, entonces una variedad tan compacta tendría que estar abierta y (relativamente) cerrada en$\mathbb R^2-{(0,0)}$, y por lo tanto tendría que ser el interior o el exterior del Círculo, ninguno de los cuales es un colector compacto. Aquí uno no necesita usar el teorema de la curva de Jordan porque su círculo es estándar.