Evaluación de $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\left( a\cos^2(x)+b\sin^2(x) \right)^n} \, dx$

Question

Me gustaría evaluar (utilizando métodos elementales si es posible) : (para $a>0,\ b>0$ )

$$ I_n=\int_0^{\pi/2} \frac{1}{( a\cos^2(x)+b\sin^2(x))^n} \, dx,\quad \ n=1,2,3,\ldots $$ Pensé en usar $u=\tan(x)$ o $u=\frac{\pi}{2}-x$ pero no funcionó. wolfram alpha evalúa el integral indefinida pero no integral definida ???

Answer 1

Sugerencia Utilice el truco de Feynman: diferencie la integral con respecto a los parámetros $a$ y $b$ y se puede demostrar que:

$$\frac{\partial {{I}_{n}}}{\partial a}+\frac{\partial {{I}_{n}}}{\partial b}=-n{{I}_{n+1}}$$ Esta recursión se puede reescribir alternativamente como $${{I}_{n}}=-\frac{1}{n-1}\left( \frac{\partial {{I}_{n-1}}}{\partial a}+\frac{\partial {{I}_{n-1}}}{\partial b} \right),\quad n=2,3,...$$ y observe que ${{I}_{1}}$ puede evaluarse con bastante facilidad utilizando $u=\tan \left( x \right)$ para conseguir ${{I}_{1}}=\frac{\pi }{2\sqrt{ab}}$ .

Answer 2

Puedes usar el teorema del residuo. $a$ y $b$ son intercambiables a través de $x\mapsto\frac{\pi}{2}-x$ por lo que es seguro asumir que $c\stackrel{\text{def}}{=}\frac{b}{a}\in(0,1)$ (ya que el caso $a=b$ es trivial) y estudiar $$ I_n(a,b) = \frac{1}{a^n}\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{(\cos^2\theta+c\sin^2\theta)^n}\stackrel{\theta\mapsto\arctan u}{=}\frac{1}{a^n}\int_{0}^{+\infty}\frac{du}{(1+u^2)\left(\frac{1+cu^2}{1+u^2}\right)^n}$$ que es $$ \frac{1}{2a^n}\int_{\mathbb{R}}\frac{(1+u^2)^{n-1}}{(1+cu^2)^{n}}\,du =\frac{\pi i}{a^n}\operatorname*{Res}_{u=i/\sqrt{c}}\frac{(1+u^2)^{n-1}}{(1+cu^2)^n}.$$ $u=\frac{i}{\sqrt{c}}$ es claramente un polo de orden $n$ para $\frac{(1+u^2)^{n-1}}{(1+cu^2)^n}$ por lo que el lado derecho es igual a $$\frac{\pi i}{(n-1)! a^n c^n}\lim_{u\to \frac{i}{\sqrt{c}}} \frac{d^{n-1}}{du^{n-1}}\frac{(1+u^2)^{n-1}}{\left(u+\frac{i}{\sqrt{c}}\right)^n}. $$

Answer 3

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

Para la antiderivada, Wolfram Alpha (y otros CAS) devuelven, para $$J_n(x)=(n-1)(a-b) I_n(x)$$ s la expresión desordenada $$2^{n-1} \csc (2 x) \sqrt{\frac{(a-b) \sin ^2(x)}{a}} \sqrt{\frac{(b-a) \cos ^2(x)}{b}}$$ $$ ((a-b) \cos (2 x)+a+b)^{1-n}$$ $$ F_1\left(1-n;\frac{1}{2},\frac{1}{2};2-n;\frac{a+b+(a-b) \cos (2 x)}{2 b},\frac{a+b+(a-b) \cos (2 x)}{2 a}\right)$$ donde aparece

El problema es que ambos $J_n\left(\frac{\pi }{2}\right)$ y $J_n\left(0\right)$ resultan en formas indeterminadas y que hay que trabajar los límites.

Estos serían $$J_n\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\sqrt{\pi } \sqrt{1-\frac{a}{b}} \sqrt{1-\frac{b}{a}}\, b^{1-n}\, \Gamma (2-n)}{2 \, \Gamma \left(\frac{3}{2}-n\right)}\, _2F_1\left(\frac{1}{2},1-n;\frac{3}{2}-n;\frac{b}{a}\right)$$ $$J_n\left(0\right)=\frac{\sqrt{\pi } \sqrt{1-\frac{a}{b}} \sqrt{1-\frac{b}{a}} \,a^{1-n}\, \Gamma (2-n)}{2\, \Gamma \left(\frac{3}{2}-n\right)}\, \, _2F_1\left(\frac{1}{2},1-n;\frac{3}{2}-n;\frac{a}{b}\right)$$

Que se diviertan.