Una identidad de polilogaritmo de valor especial que implica$\text{Li}_3(-1/2),\,\text{Li}_3(-1/3),\,\text{Li}_3(2/3),\,\text{Li}_2(-1/3),\,\text{Li}_2(2/3)$

Question

He encontrado que \begin{align} \mathcal{L} = 2\operatorname{Li}_3\left(-\frac{1}{2}\right)+\operatorname{Li}_3\left(-\frac{1}{3}\right)+2\operatorname{Li}_3\left(\frac{2}{3}\right)+\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right) \ln(3)+2\operatorname{Li}_2\left(\frac{2}{3}\right) \ln(3) \end {align} es igual a $$ \ mathcal {L} = \ frac {\ pi ^ 2} {3} \ ln (2) + \ frac {1} {3} \ ln ^ 3 (2) - \ frac {1} {3} \ ln ^ 2 (3) \ ln \ left (\ frac {27} {8} \ derecha) - \ frac {\ zeta (3)} {6} . $$

¿Cómo podríamos probar esta identidad?

Una aproximación numérica: $$ \ mathcal {L} \ approx 1.701652530545172752791574942340971991312113932043 \ dots $$

Answer 1

Esta identidad (con $z=\frac13$) implica que $$\operatorname{Li}_3\left(\frac23\right)+\operatorname{Li}_3\left(-\frac12\right)+\operatorname{Li}_3\left(\frac13\right)=\zeta\left(3\right)-\frac{\pi^2}{6}\ln\frac32+\frac12\ln 3\ln^2\frac32-\frac16\ln^3\frac32. \tag{$\spadesuit$}$$ Por otro lado , esta identidadle da $$\operatorname{Li}_3\left(-\frac13\right)-2\operatorname{Li}_3\left(\frac13\right)=-\frac{\ln^33}{6}+\frac{\pi^2}{6}\ln3-\frac{13}{6}\zeta(3).\tag{$\clubsuit$}$$ La adición de $2(\spadesuit)+(\clubsuit)$ da la trilogarithmic parte de su expresión.

El dilogarithmic parte puede calcularse mediante dilogarithmic de las identidades de la misma pregunta. Dan $$2\operatorname{Li}_2\left(\frac13\right)-\operatorname{Li}_2\left(-\frac13\right)=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\ln^23}{2},$$ o, equivalentemente, ($\operatorname{Li}_2\left(z\right)+\operatorname{Li}_2\left(1-z\right)=\frac{\pi^2}{6}-\ln z\ln(1-z)$ $z=\frac13$) $$2\operatorname{Li}_2\left(\frac23\right)+\operatorname{Li}_2\left(-\frac13\right)=\frac{\pi^2}{6}+\frac{\ln^23}{2}-2\ln 3\ln\frac32.\tag{$\diamondsuit$}$$

Por lo tanto $$\mathcal{L}=2(\spadesuit)+(\clubsuit)+\ln3\left(\diamondsuit\right).$$