Puntos de ramificación de las superficies de Riemann

Question

¿Puede una superficie de Riemann de una función de valor complejo tener tres puntos de ramificación? He estado aprendiendo sobre las superficies de Riemann en el libro de análisis complejo de Brown y la exposición no es demasiado general, así que si la respuesta es afirmativa agradecería no sólo un ejemplo, sino algo de la intuición que hay detrás de cuántos puntos de ramificación puede tener una superficie de Riemann dada.

Answer 1

Consideremos la curva algebraica $X$ en $\mathbb{C}^2$ definido por los ceros del polinomio $p(z,w)=w^3-z(z^2-1)$ . Esto se puede convertir en una superficie de Riemann como consecuencia del Teorema de la Función Implícita, como probablemente sabes. Ahora definamos $f:X\rightarrow\mathbb{C}$ por $f(z,w)=z$ . Entonces $f$ tiene grado 3. Sin embargo los puntos $z=0,\pm 1$ tienen una sola preimagen en $X$ . Por lo tanto, son puntos de ramificación con orden de ramificación 3.

En términos de teoría más general, creo que tiene más sentido una vez que has hecho algo de geometría algebraica (de la que todavía no sé mucho, por desgracia). Sin embargo, heurísticamente parece apropiado que los mapas de proyección de curvas algebraicas definidas por cúbicas tengan 3 puntos de ramificación. De forma más general se puede ver cómo construir mapas con $n$ puntos de ramificación.