Modelo de doble semión en una red cuadrada

Question

Consideramos el modelo de doble semión propuesto en el artículo de Levin y Wen

http://arxiv.org/abs/cond-mat/0404617

http://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.71.045110

En su artículo, el modelo de doble semión se define en una red en forma de panal.

Ahora estoy intentando estudiar el mismo modelo en una red cuadrada.

Pregunta 1: ¿Es correcto el siguiente Hamiltoniano?

$$H=-\sum_{\textrm{vertex}} \prod_{k \in \textrm{vertex}}\sigma_{k}^{z} + \sum_{\textrm{plaquette}} \left[ \prod_{j \in \textrm{legs}} i^{(1-\sigma_{j}^{z})/2} \right] \prod_{k \in \textrm{plaquette}} \sigma_{k}^{x}.$$ En la figura hay en total 8 patas verdes alrededor de cada plaqueta.

Como se muestra en el artículo de Levin y Wen, el estado fundamental del modelo de doble semión es la superposición de igual peso de todos los bucles cercanos, y cada bucle contribuye con un signo menos. Dada una configuración de bucles, la componente de la función de onda viene dada por $(-1)^{\textrm{number of loops}}$ . Si tenemos un número par (impar) de bucles, la componente de la función de onda de esta configuración es $+1$ ( $-1$ ). En la celosía de nido de abeja todo parece estar bien. Pero estoy confundido sobre el estado en la red cuadrada cuando las cuerdas se cruzan.

Pregunta 2: Para las dos configuraciones siguientes, ¿debemos considerarlas como un bucle o como dos bucles? ¿Tienen la misma amplitud en la función de onda del estado fundamental?

Aquí consideramos un $3 \times 3$ toroidal, es decir, tenemos condiciones de contorno periódicas en ambas direcciones. La línea roja representa la cuerda, es decir, el espín es $\left| \downarrow \right\rangle$ en cada enlace rojo.

Esta es la configuración I.

Esta es la configuración II.

Answer 1

La propiedad definitoria del modelo de doble semión es la naturaleza del estado básico como superposición de patrón de bucles con signos alternos, y no la forma de su Hamiltoniano. Como has observado, no está claro cómo contar bucles en una red cuadrada. Por lo que veo, esta es una de las razones por las que los modelos de red de cuerdas se definen en celosías de nido de abeja, ya que permite contar bucles sin ambigüedades. (De hecho, cualquier grafo trivalente serviría).

Si se quiere definir una forma de contar bucles en una red cuadrada, una forma es "decorarla" de forma que se convierta en una red trivalente, es decir, sustituir cada vértice trivalente por dos vértices trivalentes con una arista intermedia. El estado de la arista extra está determinado únicamente por el estado de las aristas circundantes, y por lo tanto, esto te da una manera de contar bucles en la red cuadrada. Del mismo modo, se puede asignar el Hamiltoniano de panal a un nuevo Hamiltoniano en la red cuadrada. Nótese, sin embargo, que este mapeo necesariamente romperá alguna simetría de la red.

Tu Hamiltoniano es rotacionalmente invariante, así que sospecho que no es el Hamiltoniano correcto. No lo he analizado detenidamente, pero podrías intentar diagonalizarlo exactamente en una red de 4x4 y comprobar el subespacio terreno. Alternativamente, puedes estudiar diferentes movimientos para pasar de una configuración a otra y comprobar si todos dan la misma fase (sospecho que no, y que habrá cancelaciones). Para esto, por supuesto, primero tienes que elegir una convención de cómo contar bucles.