Ponga$(7+5\sqrt{2})^{\frac{1}{3}}$ en la forma$x+y(\sqrt{2})$

Question

Yo dije, que

$(7+5\sqrt{2})^{\frac{1}{3}}=((x+y\sqrt{2})^{3})^{\frac{1}{3}}$

Por lo tanto,

$(7+5\sqrt{2})=(x+y\sqrt{2})^{3}$

Por lo tanto,

$ (7 +5 \ sqrt {2}) = x ^ {3} +3x ^ {2} y (\ sqrt {2}) +3xy ^ {2} (\ sqrt {2}) ^ {2} + y ^ {3} (\ sqrt {2}) ^ 3 $

Sin embargo, desde aquí ¿cómo voy? ¿Alguien tiene alguna idea?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Insinuación:

Aviso \begin{align} 7+5\sqrt{2}&=2\sqrt{2}+3(2)(1)+3(\sqrt{2})(1)+1\\ &=(\sqrt{2})^3+3(\sqrt{2})^2(1)+3(\sqrt{2})(1)^2+(1)^3 \end {align}

¿Puedes reconocer este patrón?

Answer 2

Supongamos que$7+5\sqrt{2}=(x+y\sqrt{2})^3 = (x^3+6 x y^2)+(3 x^2 y +2 y^3)\sqrt2 $.

Si estamos buscando soluciones de enteros, entonces debemos tener$7=x^3+6 x y^2$ y$5=3 x^2 y +2 y^3$, porque$\sqrt2$ es irracional.

Considerar $5=3 x^2 y +2 y^3=(3x^2+2y^2)y$. Ya que$5$ es primo,$y$ debe ser$1$ o$5$ porque$3x^2+2y^2 \ge 0$. Ahora$y$ no puede ser$5$ porque$3x^2+2y^2$ no puede ser$1$. Por lo tanto,$y=1$ y$3x^2+2y^2=5$, que da$x=\pm 1$.

Es fácil verificar que$7+5\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^3$.

Answer 3

Recordando que$\sqrt{2}^2=2$ obtenemos, desde donde lo dejaste. $$ 7 +5 \ sqrt {2} = x ^ 3 +3x ^ 2y (\ sqrt {2}) +3xy ^ 2 (2) + y ^ 3 (2) (\ sqrt {2}) \\ = x ^ 3 +6xy ^ 2 +3x ^ 2y (\ sqrt {2}) +2y ^ 3 (\ sqrt {2}) \\ = x ^ 3 +6xy ^ 2 + (3x ^ 2y +2y ^ 3) (\ sqrt {2}) $$

Entonces, vemos que$7=x^3+6xy^2$ y$5=3x^2y+2y^3$. Lo que aún parece un problema de 3 tuberías hasta que observamos las ecuaciones por un momento y vemos que$x=y=1$ es una solución. Entonces$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$, que podemos verificar calculando$(1+\sqrt{2})^3$.