Son $\vec{v}$ y $\vec{w}$ ¿Independencia lineal?

Question

¿Estoy en lo cierto al decir que $\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ y $\vec{w}=\begin{pmatrix}2\\4a\\a-1\end{pmatrix}$ son linealmente independientes $\forall a\in\mathbb R$ /{1}? Me parece que la única manera de que el segundo vector sea un múltiplo del primero es si $a=1$ . ¿Cómo podría probar esto? He probado algo pero no sé si es correcto:

1) $\vec{v} ,\vec{w}$ son linealmente independientes si y sólo si la única solución de $\lambda\vec{v}+\mu\vec{w}=\vec{0}$ es $\lambda=\mu=0$

2) $\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\4a\\a-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

$\Rightarrow \lambda+2\mu=0$

$2\lambda+4a\mu=0$

$\mu a-\mu=0$

$\Rightarrow a=1$

No estoy seguro de por qué estoy recibiendo $a=1$ porque ¿no es esa la solución donde son linealmente dependientes?

Answer 1

Para resumir lo que has dicho: $\vec{v} ,\vec{w}$ son linealmente independientes si y sólo si la única solución de $\lambda\vec{v}+\mu\vec{w}=\vec{0}$ es $\lambda=\mu=0$ .

Para esta elección particular de $\vec v,\vec w$ tenemos $\lambda,\mu$ son una solución a $\lambda\vec{v}+\mu\vec{w}=\vec{0}$ si y sólo si $\lambda + 2 \mu = 0$ y $$ \mu a - \mu = 0 \iff\\ \mu(a - 1) = 0 $$ Es decir, si $a \neq 0$ entonces la única solución es $\mu = \lambda = 0$ . Sin embargo, si $a = 1$ entonces basta con tener $\lambda + 2 \mu = 0$ , lo que nos da un número infinito de soluciones. Por lo tanto, cuando $a = 1$ los dos vectores son linealmente dependientes.

Answer 2

$$\begin{pmatrix}2\\4a\\a-1\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\iff \begin{cases}k=1&,\;\;\text{line}\;1\\{}\\k=2a&,\;\;\text{line}\;2\\{}\\a=-1&,\;\;\text{line}\;3\end{cases}$$

Pero entonces

$$(1)+(2)\;\;\implies\;\;1=k=2a\implies a=\frac12$$

que no es coherente con la tercera línea. Por lo tanto, los vectores son linealmente independientes.