Si $D$ es una categoría triangulada, y $E_i$ es un conjunto de generadores, ¿entonces $D$ es equivalente a $D(End(\oplus E_i))$?

Question

Estoy buscando un resultado similar a la siguiente afirmación: Si $D$ es una categoría triangulada, y $E_i$ es un conjunto de generadores (cada objeto puede obtenerse hasta isomorfismo mediante desplazamientos y conos de objetos en $E_i$), entonces $D$ es equivalente a $D(R)$, donde $R = \operatorname{End}(\bigoplus E_i)$. Supongo que también quiero asumir que $D$ está enriquecido en espacios vectoriales sobre $k$, y que cada espacio $Hom$ es de dimensión finita. (Realmente estoy pensando en $D^b(\operatorname{Coh}(P^n_k))$.)

He escuchado algo parecido antes, pero no puedo encontrar un resultado preciso. ¿Alguien puede sugerir una referencia, o decirme qué es exactamente cierto?

Si es cierto, creo que es razonable enviar $R$ a $\bigoplus E_i$, y utilizar la existencia de una resolución libre finita para $R$-mod para construir un funtor en otros objetos... pero hay muchos detalles aquí, y fácilmente podría pasar por alto alguna hipótesis crucial...

¡Gracias!

Answer 1

En $D(R)$, $\operatorname{Hom}(R,R[t])=0$ para $t\neq0$, así que definitivamente necesitas la condición de que $\operatorname{Hom}(E_i,E_j[t])=0$ para $t\neq0.

En mi artículo "Morita theory for derived categories" (J. London Math. Soc. (2) 39 (1989), no. 3, 436-456) demostré un resultado para las categorías derivadas de anillos con una prueba siguiendo la idea en tu último párrafo, aunque ese artículo es muy antiguo y ahora hay formas mucho más elegantes de hacerlo. La prueba no funciona para categorías trianguladas arbitrarias, pero se puede adaptar para $D^b(\operatorname{Coh}(P^n_k))$.

Palabras clave que podrías buscar son "tilting complex" o "tilting object".