Deje $H$ ser un espacio de Hilbert con producto interior $\langle\cdot,\cdot\rangle$ y deje $V,W$ dos subespacios cerrados. Para $x_0\in H$ podemos definir la secuencia de proyecciones $$x_{2n+1}=P_W(x_{2n}), \qquad x_{2n+2}=P_V(x_{2n+1}).$$ I intend to prove that if $V\cap W=\{0\}$, then $x_n\rightarrow 0$.
En primer lugar, uno puede fácilmente demostrar que $||x_{n+1}||^2=\langle x_{n+1},x_n\rangle$, de lo cual se deduce fácilmente que la secuencia de las normas es decreciente, por lo que el $\lVert x_n\rVert\to\ell\geq 0$.
A continuación, también se puede demostrar que si $V\cap W=\{0\}$ y un subsequemce $\{x_{2n_k}\}_k$ converge débilmente a algunos $x$, entonces la secuencia de $\{x_{2n_k+1}\}_k$ también converge débilmente a $x$, de donde $x=0$.
Así que ahora esto es suficiente para demostrar que un subsequence $\{x_{2n_k+1}\}$ converge débilmente a algo. Para esto, lo primero que nota que $$\lVert x_n\rVert^2=\langle x_{n+1},x_{n-2}\rangle=\cdots=\langle x_{2n-1},x_0\rangle$$ And now I would like to use that the sequence of norms converges and Riesz's representation theorem to conclude weak convergence but I am unsure as to how to proceed, since while it is true that any functional in $H$ is of the for $\langle \cdot,x_0\rangle$, varying $x_0$ also varies the sequence $\{x_{2n-1}\}$.
Gracias de antemano por cualquier perspectiva.
