Cuando se $\sin x$ un algebraica de números y cuando no algebraicas?

Question

Mostrar que si $x$ es racional, entonces $\sin x$ es algebraica de números al $x$ es en grados y $\sin x$ no es algebraico al $x$ está en radianes.

Detalles: tenemos $\sin(p/q)$ es algebraico al $p/q$ está en grados, que es lo que mi libro dice. por supuesto $\sin (30^{\circ})$, $\sin 45^{\circ}$, $\sin 90^{\circ}$, y la mitad de ellos es algebraico. pero yo no estoy tan seguro de $\sin(1^{\circ})$.

También es que esto es una prueba de la existencia o hay realmente una manera de mostrar la completa solución radical.

Una manera de conseguir que este se inicia el cambio de grados a radianes. x deg = pi/180 * x radianes. Así que si x = p/q, entonces el pecado (p/q deg) = sin ( pi/180 * p/p rad). Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, la pregunta es mostrar sin (pi*m/n rad) es algebraica. y, a continuación, mostrar el pecado (m/n rad) no es algebraico.

Answer 1

Lindemann-Weierstrass teorema implica que para $\alpha$ cero algebraicas, $\sin \alpha$ es trascendental.

Answer 2

$\sin\left(\frac{p}{q}\pi\right)=\sin\left(\frac{p}{q}180^\circ\right)$ siempre es algebraico para $\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}$: Vamos $$ \alpha=e^{\frac{i\pi}{q}}=\cos\frac{\pi}{q}+\sin\frac{\pi}{q}. $$ A continuación,$\alpha^q+1=0$, es decir, $\alpha$ es un (algebraicas) $2q^\text{th}$ raíz de la unidad, es decir, es una raíz de $x^{2q}-1$. Por lo tanto, también lo es su poder $\alpha^p$ y recíproca/conjugar el poder, que para $p$ $q$ en términos mínimos son raíces de $x^q-(-1)^p=0$. Por lo tanto, también lo son $$ \cos\frac{p\pi}{q}=\frac{\alpha^p+\alpha^{p}}{2} \qquad\text{y}\qquad \sin\frac{p\pi}{q}=\frac{\alpha^p-\alpha^{p}}{2i}, $$ por el cierre de los números algebraicos como un campo.

Ivan Niven da una buena prueba al menos que $\sin x$ es irracional (distinto de cero) racional $x$. Como @Aryabhata puntos, el Lindemann-Weierstrass teorema de nos da que estos valores de $\sin$ $\cos$ son trascendentales (no algebraicas), utilizando el hecho de que el campo de extensión de la $L/K$ de $L=\mathbb{Q}(\alpha)$ más de $K=\mathbb{Q}$ tiene la trascendencia de grado 1.