Función continua no nula solo en un conjunto abierto dado

Question

Dado un conjunto abierto arbitrario $U$ en un espacio de Hausdorff $X$, ¿es posible construir una función continua $f:X\to \mathbb C$ tal que $\{x\in X\mid f(x)\neq 0\} = U$?

Mi intuición, en su mayoría debido al lema de Urysohn (aunque se declare para espacios de Hausdorff localmente compactos), parece pensar que sí, aunque estoy teniendo bastante dificultad para escribir uno. Si se necesitan hacer más suposiciones, ¿cuáles deberían ser? ¿Nos dice el lema de Urysohn que esto es cierto para espacios de Hausdorff localmente compactos?

Answer 1

No, esto no siempre es posible. Incluso si $X$ resulta ser normal.

Tenga en cuenta que el conjunto $\mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \subseteq \mathbb{C}$ puede ser representado como $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{ z \in \mathbb{C} : |z| \geq \frac{1}{n} \}$. Así que además de ser abierto, $\mathbb{C} \setminus \{ 0 \}$ es un conjunto F_σ. Se puede demostrar que si $f : X \to Y$ es continua (espacios arbitrarios $X$ y $Y$), entonces $f^{-1} [ B ]$ es F_σ en $X$ siempre que $B$ sea F_σ en $Y. Por lo tanto, para cualquier espacio $X$ y cualquier mapeo continuo $f : X \to \mathbb{C}$, el conjunto $f^{-1} [ \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} ]$ es un subconjunto abierto F_σ de $X.

Un espacio $X$ en el que cada subconjunto abierto es F_σ a veces se llama un espacio perfecto, y un espacio perfectamente normal es llamado perfectamente normal. Los espacios perfectamente normales tienen la propiedad de que para cualquier subconjunto abierto $U \subseteq X$ hay una función continua $f : X \to \mathbb{R}$ tal que $f^{-1}[ \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} ] = U. (Lo mismo obviamente se cumple para funciones continuas con valores complejos.)

Y ciertamente existen ejemplos de espacios Hausdorff (incluso normales) que no son perfectos. Uno de ellos es el espacio ordinal $[0 , \omega_1 ] = \omega_1+1$. Aquí el intervalo $[0,\omega_1)$ es abierto, pero no es F_σ. (Cualquier subconjunto cerrado que no contenga a $\omega_1$ es numerable, y la unión de conjuntos numerables es numerable.) Por lo tanto, no existe una función continua $f : [0,\omega_1] \to \mathbb{C}$ tal que $[0,\omega_1) = f^{-1} [ \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} ].