La desigualdad problema: la Aplicación de Cauchy-Schwarz desigualdad

Question

Deje $a,b,c \in (1, \infty)$ tal que $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}=2$. Probar que: $$\sqrt {a-1} + \sqrt {b-1} + \sqrt {c-1} \leq \sqrt {a+b+c}.$$ Esto se supone que debe ser resuelto usando la desigualdad de Cauchy; es decir, el producto escalar de la desigualdad.

Answer 1

Aplicamos el Cauchy Schwarz Desigualdad a los vectores $x = \left({\sqrt {\dfrac{a-1}{a}} , \sqrt {\dfrac{b-1}{b}} , \sqrt {\dfrac{c-1}{c}}}\right)$$y = \left({\dfrac{1}{\sqrt{bc}},\dfrac{1}{\sqrt{ac}}, \dfrac{1}{\sqrt{ab}} }\right)$$\Bbb R^3$.

A continuación, $x \cdot y \le \lVert x\rVert \lVert y\rVert$ rendimientos,

$$\dfrac{\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1}}{\sqrt{abc}} \le \sqrt{\dfrac{a-1}{a} + \dfrac{b-1}{b} + \dfrac{c-1}{c}} \times \sqrt{\dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ac} + \dfrac{1}{ab}}$$

Ahora la manipulación de la $\sqrt{abc}$ a través de la señal de que obtener

$$\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1} \le \sqrt{\dfrac{a-1}{a} + \dfrac{b-1}{b} + \dfrac{c-1}{c}} \times \sqrt{a+ b+c}$$

Por eso, $$\dfrac{\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1}}{\sqrt{a+ b+c}} \le \sqrt{\left({1 - \dfrac 1 a}\right) + \left({1 - \dfrac 1 b}\right) + \left({1 - \dfrac 1 c}\right) }$$

$$\dfrac{\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1}}{\sqrt{a+ b+c}} \le \sqrt{3 - \left({\dfrac 1 a + \dfrac 1 b + \dfrac 1 c}\right)} = \sqrt{3-2} = 1$$

$\mathscr{Q.E.D}$