¿Por qué "el Dynkin componentes de un peso a jugar el papel de autovalores con respecto a los generadores $H^i$ de la Cartan subalgebra"?

Question

En el libro "Simetrías, Álgebras de Lie y Representaciones: Un Curso de Postgrado para los Físicos" de Jürgen Fuchs,Christoph Schweigert los autores escribir

"En la descripción de las representaciones, la Dynkin componentes de un peso a jugar el papel de autovalores con respecto a los generadores $H^i$ de la Cartan subalgebra."

No explicar esto más a fondo, por lo tanto, ¿alguien entiende por qué este es el caso?

A mi entender no son utilizados tres bases para el peso de espacio

1. La raíz simple de base $$ r =(a_1,a_2,a_3,\ldots)=a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2 + a_3 \alpha_3 +\ldots,$$ where $a_i$ denota el simple raíces.
2. El peso fundamental de la base (=Dynkin base), $$ w =(b_1,b_2,b_3,\ldots)=b_1 \omega_1 + b_2 \omega_2 + b_3 \omega_3 +\ldots,$$ where $\omega_i$ denota la fundamental pesos. Podemos cambiar entre estas dos bases con el Cartan de la matriz y su inversa.
3. El H-base, donde se escribe cada peso o raíz, en términos de que el autovalor de la Cartan generadores $H_i$, cuando actúan sobre ellos:

$$ H_i r = \lambda_i r \rightarrow r=( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \ldots ) $$

Lo que los autores dicen que en la cita anterior es básicamente que la segunda y la tercera base es la misma.

Es porque tenemos alguna libertad en la elección de una base para la Cartan subalgebra? En otras palabras, son la segunda y la tercera base en mi lista, simplemente, diferentes opciones de base para la Cartan subalgebra? Si sí, ¿por qué?

Answer 1

Los pesos de una representación de una Mentira álgebra son elementos de $\mathfrak{h}^*$, es decir, lineal funcional de la Cartan Subalgebra $\mathfrak{h}$$\mathbb{C}$.

Las dos bases de $\mathfrak{h}^*$ jugar diferentes roles en la teoría de la representación de la Mentira de álgebra. El simple raíces (o raíces en general) tienen que ver con el espacio de raíz decompostion de $\mathfrak{g}$: si $X\in\mathfrak{g}_{\alpha}$$H\in\mathfrak{h}$, luego $$[H,X]=\alpha(H)X.$$ La fundamental pesos son coordinar las funciones de: $$\omega_i(H^j)=\delta_{ij}.$$

Ahora, si $r$ es un vector de peso de peso $\lambda=\lambda_1\omega_1+\cdots+\lambda_n\omega_n$, entonces un elemento $H\in\mathfrak{h}$ actúa en $r$$H.r=\lambda(H)r$. En particular, desde la $\lambda(H^i)=\lambda_i$, y el $H^i$ forma una base para $\mathfrak{h}$, se obtiene una identificación de (2) y (3) anteriores.

Answer 2

El Dynkin base es la base donde nos etiqueta de los pesos en términos de los Valores propios de la Cartan generadores en el Chevalley base.

O en otras palabras

El Dynkin las etiquetas de los valores propios de la Chevalley generadores de la Cartan subalgebra

El $H$-base y la Chevalley, son simplemente dos opciones distintas para la base de la Cartan subalgebra.

El Dynkin base es a menudo más útil, porque hay cada elemento base de la Cartan subalgebra corresponde a una raíz simple.