Demostrar que cierra los subconjuntos de un conjunto compacto es compacto. ¿Qué hay de malo con esta prueba?

Question

Entiendo que otros métodos para lograr el resultado, pero este fue mi primer intento. No estoy seguro de que mi error es que, si cualquier. Y sí, me doy cuenta de que con el hecho de que $B$ es cerrado, sería de ayuda.

Para un conjunto compacto $B$, vamos a $A \subset B$ ser cerrado. Por tanto, para cada cubierta abierta de a$B$, $B \subset \cup_{i=1}^{n} G_i$ (NOTA: originalmente, cometí un error y dijo que este era Un; editado a B) para finitos $n$ y abrir conjuntos de $G_i$. Deje $U$ ser una cubierta abierta de a$A$,$U \cup W$, $W$ abierto, es una cubierta abierta de a $B$. Desde $U \cup W$ es una cubierta abierta de a $B$ $B$ es compacto, entonces $U \cup W$ está compuesto de un número finito de abiertos conjuntos. Por si $U$ puede estar compuesto de un número infinito de abrir sets, entonces la unión de un número infinito de abrir y conjuntos de un conjunto abierto significaría $B$ no es compacto. Por lo tanto a es compacto.

Answer 1

No está claro en absoluto qué es $W$. Y es $U$ un conjunto abierto, o una colección o abierto? Se dice una cosa, pero parece que se lo trate como el otro.

Por último, y lo más importante, no demostrar que cada cubierta abierta de a $A$ tiene un número finito de subcover. Para esto usted necesita para tomar una arbitraria abrir la cubierta, y producir un número finito de subcover. Una buena manera de hacerlo es recordar que $B\setminus A$ está abierto.

Answer 2

En general, como Asaf, señaló, hay varios puntos que no están muy claras. Dicho esto, voy a intentar mi mejor esfuerzo para leer entre líneas y comentarios sobre reclamaciones que yo creo que estás haciendo, y los puntos que me sospecha que usted está confundido.

Para un conjunto compacto $B$, vamos a $A \subset B$ ser cerrado. Por tanto, para cada cubierta abierta de a$A$, $A \subset \cup_{i=1}^{n} G_i$ finitas $n$ y abrir conjuntos de $G_i$.

Estás siendo un caballero, con su $G_i$. Tomado en su valor nominal, que casi parece que hemos establecido lo que usted quiere probar: Para $A$ para ser compacto, todo lo que tiene para mostrar es que cualquier abra la cubierta de $A$ puede ser limitado a un número finito de abrir la cubierta, y parece que es lo que estamos reclamando por la segunda frase. Aún así, no está claro que el $G_i$ están en absoluto relacionadas con el original de la apertura de la tapa de $A$; por supuesto, usted puede cubrir $A$ con un número finito de abrir sets (pero necesita ser comprobado que pueden ser tomadas desde la apertura de la tapa).

Deje $U$ ser una cubierta abierta de a$A$,$U \cup W$, $W$ abierto, es una cubierta abierta de a $B$. Desde $U \cup W$ es una cubierta abierta de a $B$ $B$ es compacto, entonces $U \cup W$ está compuesto de un número finito de abiertos conjuntos.

De nuevo: Para ser compacto significa que cualquier apertura de la tapa tiene un número finito de abiertos subcover; que sólo un número finito de conjuntos son necesarios. Esto no significa que cada apertura de la tapa de un conjunto compacto tiene sólo un número finito de conjuntos (sólo que nos puede tirar un montón de distancia, manteniendo la cubierta).

Por si $U$ puede estar compuesto de un número infinito de abrir sets, entonces la unión de un número infinito de abrir y conjuntos de un conjunto abierto significaría $B$ no es compacto. Por lo tanto a es compacto.

En general parece que su argumento era: "Si $A$ está cubierto por una infinidad de abrir sets, entonces la expansión de este a una cubierta de $B$ debe contener un número infinito de conjuntos así, la contradicción." Pero esto no es una contradicción, es sólo un hecho! Por una contradicción, usted tendrá que demostrar que la ampliación de la apertura de la tapa de $B$ no podía ser copiadas para contener sólo un número finito de sus constituyentes, los conjuntos.