Hacer las matrices con la máxima determinante siempre tienen valores integrales

Question

Considerar todos los $n$ $n$ matrices cuyos elementos son los valores reales en $[0,1]$. Ahora para un determinado $n$, considerar todas esas matrices con la máxima determinante.

Son todos los elementos de estas matrices siempre exactamente $0$ o $1$?

A partir de experimentos numéricos que este parece ser el caso, pero no veo cómo demostrarlo.

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Un muy buen contraejemplo fue dado a mi pregunta ya que no me la frase correctamente. Debería haber sido:

Puede que el máximo factor determinante siempre ser alcanzado por una matriz con sólo $1$ $0$ entradas?

Answer 1

Ya que cada término en el factor determinante de la fórmula es un producto de los distintos elementos de la matriz $A$, su Laplaciano, (cuando el determinante es visto como una función de $\mathbb{R}^{n \times n}$)$0$. es decir, Que es armónico. Por el principio del máximo, el máximo se produce en el límite, o es una función constante (mientras que la máxima todavía estaría en el límite).

El límite de la $[0,1]^{n^2}$ hipercubo son las matrices que tienen al menos un $0$ o $1$. Así que usted puede aplicar este argumento inductivo. El determinante de la función restringida a cada subdimensional cara es todavía armónico. Así, el max/min se produce en el límite de cada subdimensional del rostro límite, etc. Todo el camino hacia abajo de los puntos de esquina.

Alternativamente, esto puede ser visto como un estándar del problema de optimización lineal. La optimización de la función es lineal y las limitaciones están dadas por la norma de las desigualdades. De tal problema, el max/min se producen siempre en los vértices de la limitación de la región. Este es invocado por el método simplex.

Answer 2

Bien, la respuesta es negativa, al menos en el $2\times2$ de los casos. Contraejemplo: $A=\pmatrix{1& x\\ 0&1}$ cualquier $0<x<1$.

Answer 3

Debería haber preguntado, ¿puede el máximo siempre se puede alcanzar por una matriz con sólo 1 y 0 entradas?

Sin embargo, otra manera de ver que la respuesta a esta pregunta es "sí" se nota que el determinante es una función multilineal de las columnas (o, de manera equivalente, las filas) de la matriz. En particular, esto implica que el factor determinante es también un multilineal función de los elementos individuales de una matriz, es decir, que, si tenemos todos los otros elementos constantes y varían sólo uno de los elementos $a_{ij}$ de la matriz, el determinante cambia de forma lineal en función de ese elemento.

Por lo tanto, si nuestra matriz tiene cualquier elemento estrictamente entre 0 y 1, que siempre se puede establecer que el elemento a 0 o 1 sin disminuir el factor determinante. Repitiendo este proceso para cada elemento de la matriz, se obtiene, para cualquier matriz inicial $A \in [0,1]^{n \times n}$, otra matriz $A' \in \{0,1\}^{n \times n}$ tal que $|A| \le |A'|$. En particular, si el determinante de a $A$ es máxima, por lo que es de $A'$.

Answer 4

Resultado parcial:

Suponga que una matriz a $A$ tiene algún elemento $a_{ij}$ no es igual a $0$ o $1$.

Si nos encontramos con la expansión de Laplace de la determinante a lo largo de la $i$th fila, nos encontramos con $$ \det(A) = C_1 a_{i1} + \cdots + C_j a_{ij} + \cdots + C_j a_{en} $$ Si $C_j > 0$, podemos aumentar el determinante mediante el establecimiento $a_{ij} = 1$. Si $C_j < 0$, podemos aumentar el determinante mediante el establecimiento $a_{ij} = 0$.

Así, su afirmación es falsa si y sólo si existe una matriz con entradas en $[0,1]$ y la máxima determinante que tiene un $(n-1) \times (n-1)$ submatriz que no puede ser invertible.

Answer 5

$\det A$ es una función de $a_{ij}$; $$\frac{dA}{da_{ij}}=\pm M_{ij}$$ ($M$ es menor de edad) (se sigue de Laplace de la expansión del determinante). Si todos los menores se $0$,$\det A = 0$. Pero no es la máxima obviamente. Por lo tanto, el máximo está en el límite, y $a_{ij} = 0$ o $1$.