Un número $a$ es un cuadrado en $\mathbf{Q}$ si y sólo si es un cuadrado en $\mathbf{R}$ $\mathbf{Q}_p$ para todos los números primos $p$

Question

Problema de Schikhof del Ultrametric Cálculo.

Como yo lo entiendo, la intersección de a $\mathbf{R}$ y todos los $\mathbf{Q}_p$ es sólo $\mathbf{Q},$, por lo que parece que $x^2-a$ tener un cero en $\mathbf{Q}$ implica que el $\sqrt{a}\in\mathbf{R}$ $\mathbf{Q}_p$ para todos los números primos $p.$ Y en el otro lado, si $\sqrt{a}\in\mathbf{R}$ $\mathbf{Q}_p$ todos los $p,$, a continuación, en particular, en su intersección, lo que implica $\sqrt{a}\in\mathbf{Q}.$

Pero esto que parece tan trivial prueba de que me siento como yo lo he entendido mal lo que realmente está pasando, porque sugiere un principio más general que un polinomio tiene un cero racional si y sólo si tiene un cero real y un $p$-ádico cero para cualquier prime $p.$ En ese caso, ¿por qué la pregunta han sido específicamente acerca de las plazas?

Esperando que alguien puede corregir o verificar lo que está pasando aquí.

Answer 1

No tiene sentido considerar la intersección de todos los de la $\mathbb Q_p$, ya que no son todos los que figuran en algunos de los más grandes de campo. De hecho, el resultado es falso en general! Por ejemplo, el polinomio $$3X^3+4X^3+5Y^3$$ has a root in $\mathbb R$ and $\mathbb Q_p$ for all $p$, but not in $\mathbb Q$.

En este caso si $a$ no es un cuadrado en $\mathbb Q$, $a$ es negativo, en cuyo caso no tiene soluciones en $\mathbb R$, o sin pérdida de generalidad, mediante la sustitución de $X$ $pX$ según sea necesario, podemos asumir que $a$ es la plaza libre. Por lo $X^2-a$ es de Eisenstein para cualquier $p\mid a$.