Extensiones separables

Question

He completado un curso introductorio de la Teoría de Galois, pero siento que mi comprensión de la divisibilidad es pobre. Creo que mi confusión se reducen a la siguiente pregunta:

¿Cuál es la relación entre una extensión separable $L/K$ y el espacio $\mathrm{Hom}_K(L,E)$ campo $E$ que $K$ puede ser incrustado?

Cualquier explicación o referencias, sería muy apreciado.

Gracias

EDIT: tal vez esta es una mala pregunta, ya que es demasiado vaga. Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta:

Deje $F/K$ ser una extensión finita. Demostrar que existe un único campo intermedio $K \subset L \subset F$ tal que $L/K$ es separable y $F/L$ es puramente inseparable (es decir, $|\mathrm{Hom}_L(F,E)| \leq 1$ por cada extensión de $E$$L$).

En primer lugar, si $\mathrm{char}K = 0$, entonces debemos tener $L = F$ y se cumplen las condiciones. Ahora suponga $\mathrm{char}K = p > 0$.

Hice una conjetura y dijo: $L$ es probablemente el más pequeño campo que contiene todos los elementos de a $F$ que son separables sobre $K$. Entonces si $\alpha \in F$ con un mínimo de polinomio $f_L$$L$, e $\theta: F \to E$ es un homomorphism que corrige $L$, $\alpha$ debe ser asignada a una raíz de $\theta(f_L)$. Así que si cada elemento de a $F\backslash L$ tiene un mínimo polinomio sobre $L$ con sólo uno de los distintos raíz, a continuación, puede ver que el $|\mathrm{Hom}_L(F,E)| \leq 1$ estará satisfecho. También sabemos que $\alpha$ tiene un mínimo de polinomio $f_K$ $K$ que no es separable, y así tenemos el $f_L | f_K$$f_K \in K[X^p]$.

Estoy atascado donde ir a partir de aquí, sin embargo. Es mi enfoque correcto?

Answer 1

Supongamos que $L/K$ es finita separables de extensión, y $E/K$ es una ampliación arbitraria. A continuación, $\mathrm{Hom}_K(L,E)$ consiste en la mayoría de las $[L:K]$ elementos, porque un campo homomorphisms $\sigma :L\rightarrow E$ que corrige $K$ está determinada únicamente por la imagen de la $\sigma (x)$ de un elemento primitivo de $L/K$, que a su vez debe ser una raíz del polinomio mínimo $f$$x$$K$.

Para caracterizar la divisibilidad se podría decir que la extensión finita $L/K$ es separable si y sólo si existe un campo de extensión de la $E/K$ tal que $|\mathrm{Hom}_K(L,E)|=[L:K]$. (Para $E$ usted puede tomar el normal casco de $L/K$, o cualquier extensión normal $N/K$ contiene $L$.)

Answer 2

Hagen respuestas a la primera pregunta bastante bien.

Como para la edición, usted está en el camino correcto. Usted ha dicho, " $L$ es el más pequeño campo que contiene todos los elementos de a $F$ que son separables sobre $K$". Esto es un poco extraño decir, ya que si $L$ tiene elementos de otros que aquellos separables$K$, entonces estás en problemas. Entonces usted necesita para comprobar si el conjunto de elementos de $F$ que son separables sobre $K$ hace, de hecho, forma un campo (resulta que no, así que usted no necesita para perfeccionar su conjetura).

Después de haber hecho esto, ahora tenemos que comprobar que el $F/L$ es puramente inseparable. Qué elementos de la $F$ son separables sobre $L$? Bueno, si $x \in F$ es separable sobre$L$, $L(x)/L$ es separable; pero $L/K$ es separable implica entonces $L(x)/K$ es separable, obligando a $x \in L$. Hemos demostrado que todo en la $F\backslash L$ es inseparable $L$. Esto es a menudo la definición de una puramente inseparable extensión (es la definición de la Wikipedia da). Así tenemos que comprobar que esta definición es equivalente a la de su pregunta. Este es probablemente el más difícil de bits de la pregunta, que es un poco molesto.

Deje $f$ ser el polinomio mínimo de a $x$ más de $L$. $f$ es irreductibles e inseparables, por lo que debe ser de la forma $g(X^p)$ $g \in L[X]$ irreductible. Pero si $g$ es no separable, podemos aplicar esto de nuevo, y seguir haciéndolo hasta que hayamos $f = h(X^{p^n})$ algunos $n$ $h \in L[X]$ irreductible y separables. Pero el sólo separables polinomios sobre $L$ son lineales, por lo $f = X^{p^n} - a $ algunos $a \in L$. Pero, a continuación, $f$ tiene sólo una raíz (Frobenius mapa es una automorphism de $L$). Así que usted puede construir un argumento inductivo en los generadores de $F/L$ a demostrar que no es sólo uno de los $L$-la incorporación de la $F$ a $E$.