Solución en términos de la función gamma incompleta
El comportamiento de las soluciones a esta ODA son un poco oscurecida por su representación.
Deje $t = m x^2/2$ $u_a = 2(m/2)^a P_{2a-1}$ donde $a = (n+1)/2$.
La educación a distancia toma la forma
$$u_a'(t) - u_a(t) = t^{a-1},$$
con la condición de contorno $u_a(0) = 0$.
La función de Green para el operador $d/dt - 1$ la satisfacción de la condición de contorno es
$G(t,t') = \Theta(t-t') e^{t-t'}$.
Por lo tanto,
$$u_a(t) = e^t \int_0^t d z\, e^{-z} z^{a-1}.$$
La integral es la baja de la función gamma incompleta, por lo que
\begin{equation*}
u_a(t) = e^t \gamma(a,t). \tag{1}
\end{ecuación*}
En términos de $P$ $x$ encontramos
$$\begin{eqnarray*}
P_n(x) &=& \textstyle\frac{1}{2} \left(\frac{2}{m}\right)^{\frac{n+1}{2}}
u_{\frac{n+1}{2}}\left(\frac{m x^2}{2}\right) \\
&=& \textstyle\frac{1}{2} \left(\frac{2}{m}\right)^{\frac{n+1}{2}}
\exp\left(\frac{m x^2}{2}\right)
\gamma\left(\frac{n+1}{2}, \frac{m x^2}{2}\right).
\end{eqnarray*}$$
Las interesantes propiedades de $P_n$ son heredados de $\gamma$.
Por ejemplo,
$$\begin{eqnarray*}
u_a(t) &=& a^{-1} t^a M(1,a+1,t) \\
&=& \Gamma(a) t^a \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{\Gamma(a+k+1)} \\
&=& \frac{t^a}{\displaystyle a-\frac{a t}{\displaystyle a+1+\frac{t}{\displaystyle a+2-\ldots}}}.
\end{eqnarray*}$$
Por encima de $M(a,b,z) = {}_1 F_1(a;b;z)$ es Kummer la función hipergeométrica confluente.
Eche un vistazo a la Wikipedia y la DLMF en la función gamma incompleta y funciones relacionadas.
En la pregunta de la declaración sólo se entero y la mitad en valores enteros de a $a$ fueron discutidos.
La ecuación (1) define la función para todas las $\mathrm{Re}\, a >0$.
De hecho, podemos analíticamente seguir a la mayoría del plano complejo, en cuyo caso
$u_a(t)$ es meromorphic con simple pol $a = 0, -1, -2, \ldots$.
Para su comodidad,
$$\begin{eqnarray*}
u_{1/2}(t) &=& \sqrt{\pi} \mathrm{erf}(\sqrt{t}) e^t \\
u_1(t) &=& -1 + e^t.
\end{eqnarray*}$$
Estas son las $P_0$ $P_1$ en términos de$u$$t$.
La recurrencia de la relación y derivados
La recurrencia de la relación dada en el enunciado de la pregunta puede ser pensado como una consecuencia de que para $\gamma$,
$$\gamma(a,t) = (a-1)\gamma(a-1,t) - t^{a-1}e^{-t}.$$
(Esto se puede encontrar a través de la integración por partes).
Por lo tanto, nos encontramos con
$$u_{a+1} = a u_a - t^a.$$
La identidad de intereses, toma la forma
$$\frac{d u_{a+1}}{d t} = a u_a.$$
Observe cómo la representación original oculta esta relación.
(Tenga en cuenta que la fórmula para los polinomios de Bernoulli debe leer $B_{n+1}' = (n+1)B_n$.)
Las condiciones de frontera para estas dos funciones son completamente diferentes.
Los polinomios de Bernoulli satisfacer $B_n(0) = B_n$, mientras que tenemos $u_a(0) = 0$.
La secuencia de funciones de $u_a$ no es un Appell secuencia.
No podemos índice de la $u$ en ninguna manera tal que $u_0$ es constante.
Por supuesto, el $u$ no son polinomios.
Una relacionada con el Appell secuencia
Sin embargo, si el cambio de las condiciones de frontera y considerar
$v_a(t) = u_{a+1}(t) + c_a e^t$ (de modo que $v_a(0) = c_a$)
y si $c_a = -a!$ la secuencia es Appell,
$$v'_{a+1} = (a+1)v_a, \hspace{5ex} v_0(t) = -1.$$
(Tenga en cuenta que $v_{a-1}$ satisface la ecuación diferencial $v' - v = t^{a-1}$.)
Estos polinomios no son muy interesantes,
$$\begin{eqnarray*}
v_a &=& -e^t \Gamma(a+1,t) \\
&=& -a! e_a(t),
\end{eqnarray*}$$
donde $e_a(t) = \sum_{k=0}^a t^k/k!$ es el parcial exponencial de la suma.
(Aquí hemos asumido $a$ es integral. Por medio de la integral de la $a$ esto no funciona).
Polinomios asociados con condiciones de contorno original
Ahora consideramos los polinomios asociados con el original de la condición de frontera.
Para la integral de la $a$ dejamos $q_n = u_{n+1} - n!u_1$.
Entonces
$$q_n = -n! \sum_{k=1}^n \frac{t^k}{k!}.$$
Estos son sólo los polinomios $v$ se encuentra por encima sin el término constante.
Tenga en cuenta que $\frac{1}{2} (\frac{2}{m})^{n+1} q_n(\frac{m x^2}{2}) =
- \sum_{k=1}^n \frac{(2n)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k}}{m^{n-k+1}}$,
desde $n! = (2n)!!/2^n$.
Por medio de la integral de la $a$ dejamos $r_n = u_{n+1/2} - \frac{\Gamma(n+1/2)}{\Gamma(1/2)} u_{1/2}$.
Entonces
$$r_n = -\Gamma(n+1/2) \sum_{k=1}^n \frac{t^{k-1/2}}{\Gamma(k+1/2)}.$$
Tenga en cuenta que $\frac{1}{2} (\frac{2}{m})^{n+1/2} r_n(\frac{m x^2}{2}) =
- \sum_{k=1}^n \frac{(2n-1)!!}{(2k-1)!!} \frac{x^{2k-1}}{m^{n-k+1}}$,
desde $\Gamma(n+1/2) = (2n-1)!!\sqrt{\pi}/2^n$.
Las sumas de $q$$r$, aunque finito, son bastante ordinarios.
Quizás sorprendentemente.
Sus coeficientes no están relacionados con los números de Bernoulli o cualquier otro interesante secuencias.
No parece útil para el estudio de estos más.
De hecho, es algo antinatural para separar la solución en dos partes que no logran resolver la misma ecuación diferencial.
La exploración adicional
Para explorar más a fondo las funciones de $P_n$ es probablemente la más fructífera para el estudio de las propiedades de la función gamma incompleta y relacionados con funciones especiales en más detalle.
El DLMF va a ser muy útil en este sentido.
He aquí dos ejemplos de la clase de relaciones que uno pueda encontrar.
(Es probablemente la mejor manera de seguir con $u$$t$, pero uno siempre puede ir a $P$ $x$ utilizando el diccionario aparece en la parte superior de este documento.)
Utilizando las propiedades de $\gamma$ encontramos
$$u_{a+n}(t) = (a)_n u_a(t) - t^a \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a+k+1)} t^k,$$
donde $(a)_n = \Gamma(a+n)/\Gamma(a)$ es el símbolo de Pochhammer.
La recurrencia de la relación es un caso especial de esta fórmula al $n=1$.
Por último, un poco de la fórmula increíble,
$$u_a(\lambda t) = \lambda^a \sum_{k=0}^\infty u_{a+k}(t) \frac{(1-\lambda)^k}{k!}.$$
Hay mucho más para aprender acerca de sus funciones mediante la explotación de las propiedades de $\gamma$.
Saludos!
