Encontrar $2\times 2$ matrices $A$ $B$ tal que $AB=0$ pero $BA$ no es igual a $0$

Question

Encontrar $2\times 2$ matrices $A$ $B$ tal que $AB=0$ pero $BA$ no es igual a $0$ (por favor, mostrar el trabajo y los conceptos utilizados) Gracias :)

Answer 1

Voy a esbozar un método que utiliza la "rango-1 matrices". Sentirse cómodo trabajando con matrices podría tomar un poco de esfuerzo, pero en el largo plazo también sería bastante la pena. Con la práctica, todos los pasos a continuación puede formar parte de su proceso de pensamiento interno, eliminando la necesidad de cualquier cálculo.

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Vamos a reducir las posibilidades:

• No podemos tener a $A$ invertible o de lo $BA = A^{-1} (AB) A = 0$, contrario a la hipótesis. Esencialmente por la misma razón, no podemos tener $B$ invertible. Veo que esto de inmediato, porque sé que $AB$ $BA$ son "similares" cuando uno de ellos es invertible.
• No podemos tener a $A = 0$ o $B=0$, ya que en ambos casos, obtenemos $BA=0$, contrario a la hipótesis.

Parafraseando lo anterior, $rank(A) \neq 0$ o $2$. Asimismo, $rank(B) \neq 0$ o $2$. La única posibilidad es $$rank(A) = rank(B) = 1.$$

Pero, rango 1 matrices son bastante fáciles de describir: se acaba de ver como $xy^T$ donde $x$ $y$ (distinto de cero) $2 \times 1$ vectores columna. Para la diversión, usted puede ser que desee comprobar que el espacio nulo de a $xy^T$ es el orthocomplement de $y$. La columna espacio de $xy^T$ es la línea a través de $x$.

De todos modos, vamos a decir \begin{align*} A = x y^T && B = z w^T \end{align*}

A continuación, $$ AB = x y^T z w^T.$$ Pero, $y^Tz$ es en realidad sólo el número de $y \cdot z$, el producto escalar de a$y$$z$. Así, $$AB = x (y \cdot z) w^T = (y \cdot z) \underbrace{x w^T}_\text{rank-1}.$$ Del mismo modo, $$BA = (x \cdot w) \underbrace{z y^T}_\text{rank-1}$$ Así que, prácticamente, sólo tenemos que hacer $y \cdot z = 0$, e $x \cdot w \neq 0$ y vamos a estar bien. Una manera sencilla para que proceda aquí es tomar \begin{align*} x = y = w =\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} && z = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*} Esto lleva a \begin{align*} A = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} && B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \end{align*}

Answer 2

No hay un "canónica respuesta" a esta pregunta: por que quiero decir es que hay un montón de pares de $A,B$ cual va a responder a la pregunta, e incluso de dos expertos en la materia podría no llegar a la misma respuesta. Me explico cómo empezar.

En teoría podríamos escribir $A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right]$$B = \left[ \begin{array}{Cc} e & f \\ g & h \end{array} \right]$,$AB = 0$, y, a continuación, trate de elegir los valores de $a,b,c,d,e,f,g,h$ hacer $BA$ algo distinto de cero. Si en realidad se trata de hacer esto, sin embargo, usted encontrará que las ecuaciones son bastante difíciles de manejar. E. g. que $AB = 0$ significa

$ae + bg = af + bh = ce + dg = cf + dh = 0$.

Este es un sistema de ecuaciones, pero no lineal de ecuaciones: ecuación cuadrática ecuaciones. Álgebra lineal no nos enseñan cómo resolver este tipo de ecuaciones en forma sistemática (más bien, la resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticas en varias variables es tan difícil como resolver ecuaciones polinómicas de cualquier grado, que es un tema profunda, la geometría algebraica).

Para continuar, se debe probablemente, algunas de las variables igual a $0$: lo suficiente como para hacer las ecuaciones simples, pero no tantas para que $BA = 0$. Aquí es una sugerencia de cómo hacer esto: aprovechar el hecho de que si $A$ tiene una fila de ceros, entonces la misma fila de $AB$ debe ser cero, sino $BA$ no está obligado a tener cero entradas. Del mismo modo, si $B$ tiene una columna de ceros, entonces la misma columna de $AB$ debe ser cero, sino $BA$ no está obligado a tener cero entradas. Este sugests que $A$ debe tener al menos una fila (y claramente no dos filas, así que tal vez uno más cero de la entrada?) y $B$ debe tener al menos una columna (y....). Desde este punto hay todavía ensayo y error, pero es mucho más fácil y motivado por algunas ideas que pueden ser utilizados para otros problemas.

Answer 3

Es más o menos de "ensayo y error", pero usted sabe que al menos una de las matrices a o B, debe tener un autovalor igual a 0, por lo que usted puede probar su suerte con $$\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix},\dots$$

Por ejemplo, usted podría tomar $A=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$

A continuación, $AB= 0$ pero $BA\neq0$.