Infinito primer producto es igual a $\sqrt{5}$

Question

Si $p$ se ejecuta a través de los números primos de la forma $20k+3$ $20k+7$ $q$ se ejecuta a través de los números primos de la forma $20k+13$$20k+17$, luego $$\prod\limits^{\infty}\frac{p+1}{p-1}\prod\limits^{\infty}\frac{q-1}{q+1}=\sqrt{5}$$ ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

El producto

$$P(s)=\prod_{p\equiv3,7\bmod{20}}\frac{p^s+1}{p^{s}-1} \prod_{p\equiv13,17\bmod{20}}\frac{p^s-1}{p^{s}+1}$$

puede ser por escrito, para $\Re(s)>1$, como cociente de dos de Dirichlet $L$de la serie:

$$P(s)=\frac{L(s,\chi_1)}{L(s,\chi_2)}$$

donde $\chi_1(k+20\mathbf Z)=-1$ fib $k=11,13,17,19$ $\chi_1(k+20\mathbf Z)=1$ lo contrario, y $\chi_2(k+20\mathbf Z)=-1$ fib $k=3,7,11,19$ $\chi_2(k+20\mathbf Z)=1$ otro (por supuesto, cuando se $(k,n)>1$, ambos son cero). Para $s=1$ se puede demostrar que

$$\frac{\overbrace{L(1,\chi_1)}^{\pi/\sqrt5}}{\underbrace{L(1,\chi_2)}_{\pi/5}}=\sqrt5$$

(los cálculos son complicados, he usado Mathematica). Por lo tanto, podríamos esperar que la igualdad

$$P(1)"="\sqrt 5$$

pero no se nos permite hacerlo, ya que la igualdad sólo es válido en el semiplano $\Re(s)>1$. Tal vez alguien pueda justificar este último paso, reordenando el producto de una manera apropiada.

Answer 2

Como empecé la respuesta, rápido, compacto y buena respuesta (+1 de mi parte) de iqcd no estaba aquí, así que me cambié a un editor, pero escribir me mató. La respuesta fue aquí, en, entre, de una misma y única idea posible, post-it, ya que algunos detalles pueden traer una nueva información.

Deje $T$ ser el grupo de unidades del anillo de $\Bbb Z/20\Bbb Z$. Ha $\phi(20)=20\cdot\left(1-\frac 12\right)\left(1-\frac 15\right)=8$ elementos, y es isomorfo a... $$T\cong(\Bbb Z/4)\times(\Bbb Z/2)\ .$$

For the sake of typography, i will use sage to have a quick information, here and in the sequel.

sage: R = ZZ.quotient(20)
sage: R
Ring of integers modulo 20
sage: G = R.unit_group()
sage: G.order()
8
sage: G
Multiplicative Abelian group isomorphic to C2 x C4

As generators, we take $11$, with $11^2=121=1$ (in $T$), and $17$, with powers $1,17,(28)9, (49)13$ (in $T$).

Los personajes son como en el siguiente listado:

sage: D = DirichletGroup(20)
sage: for chi in D:
....:     print chi
....:     
Dirichlet character modulo 20 of conductor 1 mapping 11 |--> 1, 17 |--> 1
Dirichlet character modulo 20 of conductor 4 mapping 11 |--> -1, 17 |--> 1
Dirichlet character modulo 20 of conductor 5 mapping 11 |--> 1, 17 |--> zeta4
Dirichlet character modulo 20 of conductor 20 mapping 11 |--> -1, 17 |--> zeta4
Dirichlet character modulo 20 of conductor 5 mapping 11 |--> 1, 17 |--> -1
Dirichlet character modulo 20 of conductor 20 mapping 11 |--> -1, 17 |--> -1
Dirichlet character modulo 20 of conductor 5 mapping 11 |--> 1, 17 |--> -zeta4
Dirichlet character modulo 20 of conductor 20 mapping 11 |--> -1, 17 |--> -zeta4

y queremos ver a los personajes desde arriba, calculado en todos los lugares.

Aquí están. Código:

D = DirichletGroup(20)
V = ( 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 )
for v in V:
    print "%6s" % v,
print 

for chi in D:
    for v in V:
        print "%6s" % chi(v),
    print

Resultados:

 1      3      7      9     11     13     17     19
 1      1      1      1      1      1      1      1
 1     -1     -1      1     -1      1      1     -1
 1 -zeta4  zeta4     -1      1 -zeta4  zeta4     -1
 1  zeta4 -zeta4     -1     -1 -zeta4  zeta4      1
 1     -1     -1      1      1     -1     -1      1
 1      1      1      1     -1     -1     -1     -1
 1  zeta4 -zeta4     -1      1  zeta4 -zeta4     -1
 1 -zeta4  zeta4     -1     -1  zeta4 -zeta4      1

Ahora vamos a escribir sólo las dos líneas que son en su mayoría cerradas para el problema dado:

 1      3      7      9     11     13     17     19
 1     -1     -1      1     -1      1      1     -1
 1      1      1      1     -1     -1     -1     -1

y la conexión con el problema es el siguiente. Considerar la Dirichlet $L$-de la serie asociada a un carácter de Dirichlet $\Bbb Z/20$, en notación habitual $\chi$, Dirichlet $L$-función por $$L(s,\chi) =\sum_{n\ge 1}\frac {\chi(n)}{n^s} =\prod_{p\text{ prime}}\left(1-\frac {\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}\ .$$ El por encima de Euler producto es el que nos interesa.

El cociente de las dos $L$-funciones, asociadas a los dos personajes anteriormente es el valor.

En nuestro caso, formalmente: $$\begin{aligned} &\prod_{\substack{p\equiv 3,7[20]\\p\text{ prime}}}\frac {p+1}{p-1} \prod_{\substack{q\equiv 13,17[20]\\q\text{ prime}}}\frac {q-1}{q+1} \\ &\qquad= \prod_{\substack{p\equiv 3,7[20]\\p\text{ prime}}}\frac {1+\frac 1p}{1-\frac 1p} \prod_{\substack{q\equiv 13,17[20]\\q\text{ prime}}}\frac {1-\frac 1q}{1+\frac 1q} \\ &\qquad= \frac {\prod_{p\text{ prime}}\left(1-\frac {\chi_1(p)}{p}\right)} {\prod_{p\text{ prime}}\left(1-\frac {\chi_2(p)}{p}\right)} \\ &\qquad= \frac {\prod_{p\text{ prime}}\left(1-\frac {\chi_2(p)}{p}\right)^{-1}} {\prod_{p\text{ prime}}\left(1-\frac {\chi_1(p)}{p}\right)^{-1}} \\ &\qquad= \frac {L(\chi_2,1)} {L(\chi_1,1)} \\ &\qquad= \frac {\pi/\sqrt 5} {\pi/5} =\sqrt 5 \ . \end{aligned}$$ Con el "obvio" opciones para $\chi_1,\chi_2$ a partir de la tabla anterior. Aquí, $$L(1,\chi) = \frac {\pi i}{20} \sum_{1\le\le 9}\chi(a)\frac {\zeta^un+1}{\zeta^un-1}\ ,$$ donde $\zeta$ es la raíz primitiva de orden $20$, $\zeta=\exp\frac{2\pi i}{20}$. En nuestros casos, hemos utilizado anteriormente:

sage: def L(chi):    return pi*i/20* sum( [chi(a) * (z^a+1)/(z^a-1) for a in [1..9]] )
sage: L( G.list()[1] ).simplify_full()
1/5*pi
sage: L( G.list()[5] ).simplify_full()
1/5*sqrt(5)*pi

(Sage fue utilizado de nuevo.)

Nota: Hay algunos problemas en la convergencia.

El lado derecho de $$L(s,\chi) =\sum_{n\ge 1}\frac {\chi(n)}{n^s} %=\prod_{p\text{ prime}}\left(1-\frac {\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}$$ es absolutamente convergente para $s$ con parte real $>1$, y convergente para no trivial de carácter, como en nuestros casos, para $s$ con parte real $>0$.

Esto no es suficiente para el uso de él, de sus sumas parciales, en lugar de parcial de Euler productos en el formal cálculo anterior. El truncamiento de los productos tiene que ser controlado de alguna manera. (Voy a tratar de ver más...)