Una integral de línea problema

Question

He intentado utilizar el teorema de stokes en este problema, pero mi respuesta no coincide con la respuesta correcta.

Por favor, ayudar. Este es mi pruebe pls ayuda..

Answer 1

El teorema de Stokes dice

$$\int_{C} F \cdot dr=\iint_{S} (\nabla \times F) \cdot \vec n dS$$

Donde $C=\partial S$ aquí $\partial$ representa el límite.

Elija $S$ a ser el avión $x+y=0$ que se encuentra en $x^2+y^2+z^2 \leq 1$, claramente $\partial S=C$ donde $C$ es la curva que usted desea. En su ejemplo,$\nabla \times F=\langle -1,-1,-1 \rangle$. Cómo acerca de la unidad del vector normal? Tenemos $1x+1y+0z=0$. De modo que la unidad normal es $\frac{1}{\sqrt{2}}\langle 1,1,0 \rangle$. En realidad, con la orientación correcta que va con el problema debería ser $\frac{1}{\sqrt{2}}\langle -1,-1,0 \rangle$.

Por lo $(\nabla \times F) \cdot \vec n=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

Parametrización un la superficie como $r(x,z)=\langle x,-x,z \rangle$$x^2+(-x)^2+z^2 \leq 1$. Obtenemos $dS=|r_x \times r_z| dA=\sqrt{2} dA$. Desde aquí podemos llegar,

$$\int_C F \cdot dr=\iint_{D} \sqrt{2} \sqrt{2} dA$$

Donde $D$ es una elipse (el interior) $\frac{\sqrt{2}}{2}$$1$, centrada en el origen. La elipse es $(\frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}})^2+(\frac{y}{1})^2 \leq 1$ de nuestra parametrización.

Utilizando la fórmula para el área de en el interior de una elipse $(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1$, $A=\pi ab$ tenemos,

$$=2 \iint_{D} dA=2(\pi)(\frac{\sqrt{2}}{2})(1)=\sqrt{2}\pi$$

Aunque esto no está de acuerdo, creo que el programa que está utilizando es la culpa.