Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie compacto y conexo. Sea $x, y \in G$ sea un par arbitrario de elementos conmutables. ¿Existe necesariamente un toroide $T \leq G$ que contiene $x$ y $y$ ?
Parece que no:
Conmutatividad y toros máximos en grupos de Lie compactos conectados
El problema surge debido a los subgrupos abelianos discretos. Consideremos el $SO_3(\mathbb{R})$ ejemplo del enlace. Pensando geométricamente, un toroide máximo puede describirse como el subgrupo de rotaciones que fijan una dirección particular en $\mathbb{R}^3$ . Consideremos dos direcciones ortogonales. Entonces la rotación por $\pi$ Los radianes en torno a estos dos ejes conmutarán, pero ciertamente no viven en un toro común máximo.
Mi preocupación viene de intentar calcular la siguiente variedad de caracteres en un toroide:
$\chi_G(\Sigma_1)=\{\rho: \pi_1(\Sigma_1) \to G \ \vert \rho \ \text{is a group homomorphism}\}/\text{conjugation by} \ G$
donde $\Sigma_1 \cong S^1 \times S^1$ es un toroide. Como $\pi_1(\Sigma_1)$ es abeliano libre de rango 2, se deduce que dicho homomorfismo está determinado por una elección de elementos conmutables $x, y \in G$ . ¿Qué debo hacer con el siguiente argumento, en particular la parte que caracteriza una conexión plana en $S^1 \times S^1$ ? [Edición: Se ha actualizado el enlace para reflejar esta cuestión]
http://ncatlab.org/nlab/show/moduli+espacio+de+conexiones#Conexiones+planas+sobre+el+Toro
Parece que hay homomorfismos extraños que no encajan en esta configuración general para algunos grupos compactos. Agradecería más ejemplos (en otros grupos compactos y conectados) de elementos conmutativos que no vivan en un toroide máximo común.
Por supuesto, $SO_3(\mathbb{R})$ no es simplemente conectado, pero los grupos gauge con los que estoy trabajando sí lo son. No sé lo suficiente sobre subgrupos abelianos discretos de grupos de Lie compactos. ¿Puede evitarse este problema suponiendo además que el grupo de galgas es simplemente conexo?
