Entero con mayor número de divisores

Question

Demostrar que el número $83160= 2 ^{3} \cdot 3 ^{3}\cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$ has the largest number of divisors among all integers $≤10^5$.

Mi Intento. El número de $83160$ es altamente compuesto de números y hay algoritmos, por ejemplo aquí, para calcular los números. Así, yo puedo hacer un programa de ordenador para el cálculo. Es posible demostrar sin ningún tipo de equipo de cálculo?

Answer 1

Dado un número natural $N$ deje $N=p_1^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}$ ser su descomposición en producto de potencias de los distintos números primos. A continuación, el número de los distintos divisores de $N$ $$D(N)=(\alpha_1+1)\cdots (\alpha_n+1).

Por lo tanto, dado que el límite superior $\overline{N}$$N$, buscando el máximo de $D(N)$ es suficiente con considerar el $p_i$ $i$- ésimo número primo y $\alpha_1\ge \alpha_2\ge\dots\ge\alpha_n$.

A continuación, si $p_j^\alpha<p_i^\beta$ naturales $\beta\le\alpha_i$ pero $(\alpha_j+\alpha+1)(\alpha_i-\beta+1)\ge (\alpha_j+1)(\alpha_i+1)$, entonces podemos reemplazar $N$ por un menor número de $N\cdot p_j^\alpha p_i^{-\beta}$ sin disminuir $D(N)$. En particular, poniendo a $\beta=\alpha_i$ podemos suponer que para el $N$, y para cada una de las $i$ $j$ tiene $$p_i^{\alpha_i}<p_j^{(\alpha_j+1)(\alpha_i+1)-(\alpha_j+1)}= p_j^{(\alpha_j+1)\alpha_i},$$ que es $p_i<p_j^{\alpha_j+1}$. Por otra parte, puesto que, además, pueden considerar la posibilidad de $\alpha_{n+1}=0$, $2(\alpha_i-\beta+1)<\alpha_i+1$ (que es $\alpha_i+1<2\beta$) para cada una de las $i\le n$ natural y $\beta$ tal que $p_{n+1}<p_i^{\beta}$.

Deje $\overline{N}=10^5$. Si $p_n\ge 13$$p_1^{\alpha_1}\ge 8$$p_2^{\alpha_2}\ge 9$. Entonces $$N\ge 8\cdot 9\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13=360 360>\overline{N}.$$ Thus $p_n\le el 11$. If $p_n=11$ then similarly to the above we can show that $\alpha_i=1$ for $i\ge 3$, so it remains to check a few remaining possibilities for $\alpha_1$ and $\alpha_2$.

Si $p_n\le 7$$p_{n+1}\le 11$, por lo que tenemos $\alpha_i+1<2\beta$ por cada $i\le n$ natural y $\beta$ tal que $11<p_i^{\beta}$. En particular, $\alpha_1\le 6$, $\alpha_2\le 4$, $\alpha_3\le 2$, y $\alpha_4\le 2$. Recordemos que el número de $83160= 2^{3} \cdot 3^{3}\cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$ $(3+1)(3+1)(1+1) (1+1) (1+1)=128$ divisores. En orden a $(\alpha_1+1) (\alpha_2+1) (\alpha_3+1) (\alpha_4+1)>128$ tenemos $\alpha_4\ge 1$, lo $p_n=7$, y de nuevo se queda a ver un par resto de posibilidades para $\alpha_i$'s.